Question

如圖：拋物線y=x²+bx+c交x軸于A、B，直線y=x+2過點A，交y軸于C，交拋物線于E，且E的橫坐標(biāo)為3，△ABC的外接圓⊙N交y軸于另一點D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求圓心N的坐標(biāo)；
（3）點P為AE上方的拋物線上一點，若△PAE∽△ABC，求點P的坐標(biāo)，并判定直線PA與⊙N的位置關(guān)系．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)題意得出A，E點坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；
（2）首先利用OC=2，OB=4，求出NC=NB=

10

，進(jìn)而得出GN=1，即可得出N點坐標(biāo)；
（3）首先求出AP的解析式，進(jìn)而得出P點坐標(biāo)，再利用△PAE∽△ABC，得出∠AKO=∠NAG，得出∠KAO+∠NAG=90°，進(jìn)而得出答案．

解答：解：（1）∵直線y=x+2過點A，點E的橫坐標(biāo)為3，
∴A（-2，0）E（3，5），
∴

0=-4-2b+c 5=-9+3b+c

，
∴

b=2 c=8

，
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+8；

（2）如圖1，由題意可知C（0，2）B（4，0），
∴OA=OC=2，
∴∠OAC=∠OCA=45°，
∴∠CNB=90°，
∵OC=2，OB=4，
∴NC=NB=

10

，
作NG⊥AB，∴AG=GB=3，
∴GN=1，
∴N（1，-1）；

（3）若△PAE∽△ABC，
∴∠PAE=∠ABC，
∴tan∠PAE=tan∠ABC=

1

2

，
如圖2，作KH⊥AE于H，設(shè)KH=a，
∴CH=a，AH=2a，
∴AC=a=2

2

，
∴CK=

2

a=4，
∴OK=6，
∴K（0，6），
設(shè)直線AP的解析式為y=kx+b，
則 

6=b 0=-k+b

解得：

k=3 b=6

∴直線AP的解析式為y=3x+6，
∴

y=3x+6 y=-x2+2x+8

，
∴

x=1 y=9

或

x=-2 y=0

（舍去），
∴P（1，9）
∵BC=2

5

，AB=6，AP=3

10

，AE=5

2

，
∴

BC

AE

=

AB

AP

，
∴△PAE∽△ABC，
∵tan∠AKO=tan∠NAG=

1

3

，
∴∠AKO=∠NAG，
又∵∠AKO+∠KAO=90°，
∴∠KAO+∠NAG=90°，
∴AP⊥AN，
∴直線PA與⊙N相切．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及切線的判定和圖象上點的坐標(biāo)性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，利用數(shù)形結(jié)合得出∠AKO=∠NAG是解題關(guān)鍵．