Question

3．如圖，矩形的四個頂點為A（1，1）、B（5，1）、C（5，2）、D（1，2），點E、F的坐標(biāo)分別為（6，0）、（8，0），動點P從點E出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿EO勻速運動，到達(dá)點O后立即以原來的速度沿OE返回；另一動點Q從點F出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿FO勻速運動，點P、Q同時出發(fā)，兩點相遇時停止運動，在點P、Q的運動過程中，以PQ為斜邊在x軸上方作等腰直角三角形PQM．設(shè)運動時間為t．
（1）當(dāng)線段PM經(jīng)過點B時，求t的值；
（2）當(dāng)點M落在線段AB上時，求t的值；
（3）設(shè)△PQM與矩形ABCD重合部分圖形的面積為S，在點P由E向O運動過程中（含點O），當(dāng)重合部分的圖形存在時，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（4）若點G的坐標(biāo)為（4，0），線段PM與線段AB的交點為N，請寫出使得△OGN為等腰三角形時所有t的值．

Answer 1

分析 （1）求出點P運動的路程即可解決問題．
（2）當(dāng)點P從點E運動到O時，點M不可能在線段AB上，當(dāng)點P從點O向點E運動時，點M在線段AB上時，路程方程即可解決．
（3）是分段函數(shù)，當(dāng)1＜t$≤\frac{4}{3}$時，如圖1中根據(jù)S=S_△KGB求解，當(dāng)$\frac{4}{3}$＜t≤2時，如圖2中，作ML⊥AB于L，延長ML交PQ于T，根據(jù)S=S_△MGL+S_梯形MLBK求解，當(dāng)2＜t≤3時，如圖3中，根據(jù)S=S_梯形HGRK求解．
（4）分當(dāng)ON=OG時，ON=NG時分別列出方程即可解決問題．

解答 解；（1）當(dāng)線段PM經(jīng)過點B時，t=$\frac{2}{2}$=1s，
∴t=1s時，線段PM經(jīng)過點B
（2）當(dāng)點P從點E運動到O時，點M不可能在線段AB上，
當(dāng)點P從點O向點E運動時，點M在線段AB上時，則2t+t=12，t=4s．
∴t=4s時，點M在線段AB上．
（3）如圖1中，設(shè)PM交AB、BC于G、K，延長CB交PQ于H，則PH=KH=2t-1，

當(dāng)點M在線段BC上時，2t-1=3-t，解得t=$\frac{4}{3}$，
當(dāng)1＜t$≤\frac{4}{3}$時，S=S_△KGB=$\frac{1}{2}$（2t-2）²=2（t-2）²，
當(dāng)QM經(jīng)過點B時，t=2，此時點M在線段CD上，
當(dāng)$\frac{4}{3}$＜t≤2時，如圖2中，作ML⊥AB于L，延長ML交PQ于T，則S=S_△MGL+S_梯形MLBK

∵PT=TQ=MT=$\frac{1}{2}$（2t+2-t）=$\frac{1}{2}$（t+2），
∴ML=GL=$\frac{1}{2}$（t+2）-1=$\frac{1}{2}$t，HT=LB=$\frac{1}{2}$（t+2）-（3-t）=$\frac{3}{2}t$-2，KB=HK-1=2-t，
∴S=$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{2}$t）²+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$t+2-t）•（$\frac{3}{2}$t-2）=-$\frac{1}{4}$t²+2t-2
當(dāng)2＜t≤3時，如圖3中，S=S_梯形HGRK，

∵GR=PQ-2，HK=PQ-4，
∴GR=t，KH=t-2，
∴S=$\frac{1}{2}$（t+t-2）•1=t-1．
綜上所述S=$\left\{\begin{array}{l}{2（t-2）^{2}}&{（1＜t≤\frac{4}{3}）}\\{-\frac{1}{4}{t}^{2}+2t-2}&{（\frac{4}{3}＜t≤2）}\\{t-1}&{（2＜t≤3）}\end{array}\right.$，
（4）如圖4中，

當(dāng)ON=OG時，作NM⊥OG垂足為M．
則OG=ON=4，OM=$\sqrt{O{N}^{2}-N{M}^{2}}$=$\sqrt{15}$，
∵PM=NM=1，
∴OP=$\sqrt{15}$-1，
∴6-2t=$\sqrt{15}$-1或2t-6=$\sqrt{15}$-1，
∴t=$\frac{7-\sqrt{15}}{2}$或$\frac{5+\sqrt{15}}{2}$（不合題意舍棄），
當(dāng)ON=NG時，OM=MG=2，OP=1，
∴6-2t=1或2t-6=1，
∴t=$\frac{5}{2}$或$\frac{7}{2}$，
綜上所述t=$\frac{7-\sqrt{15}}{2}$或$\frac{5}{2}$或$\frac{7}{2}$時，△ONG是等腰三角形．

點評 本題考查四邊形綜合題，等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是找到關(guān)鍵點，學(xué)會正確畫出圖形，學(xué)會添加常用輔助線，學(xué)會分類討論的思想，屬于中考壓軸題．