Question

14．如圖，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ADE=∠ACB=90°，連接BE，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)，連接CF、DF．
（1）如圖1，當(dāng)AD與AC重合時(shí)，猜想線段CF、DF的關(guān)系，并證明你的猜想；
（2）如圖2，當(dāng)DA⊥AB時(shí)，（1）中猜想的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說明理由；
（3）如圖3，若△ABC不動(dòng)，△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度，其他條件不變，（1）中的結(jié)論成立嗎？請(qǐng)直接回答，不必說明理由．

Answer 1

分析 （2）先證明△DEF≌△GCF，得到DE=CG，DF=FG，根據(jù)AD=DE，AB=BC，得到BD=BG又因?yàn)椤螦BC=90°，所以DF=CF且DF⊥BF．
（3）延長(zhǎng)DF交BA于點(diǎn)H，先證明△DEF≌△HBF，得到DE=BH，DF=FH，再判斷出△DAC≌△HBC，即可得出CD=CH，即可得出結(jié)論；
（3）過點(diǎn)B作BH∥ED，與DF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H，連接CH，推出△FDE≌△FHB，求出DF=HF，DE=BH，作AN⊥EB于點(diǎn)N，證△CBH≌△CAD，推出CH=CD，∠DCA=∠BCH，求出∠DCH=90°，即可得出答案．

解答 證明：（1）DF=CF，DF⊥CF
理由：如圖1，

∵∠ADE=∠ACB=90°，
∴DE∥BC，
∴∠DEF=∠GBF，∠EDF=∠BGF．
∵F為BE中點(diǎn)，
∴EF=BF．
∴△DEF≌△GBF．
∴DE=GB，DF=GF．
∵AD=DE，
∴AD=GB，
∵AC=BC，
∴AC-AD=BC-GB，
∴DC=GC．
∵∠ACB=90°，
∴△DCG是等腰直角三角形，
∵DF=GF．
∴DF=CF，DF⊥CF．
（2）如圖2，

延長(zhǎng)DF交BA于點(diǎn)H，
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴AC=BC，AD=DE．
∴∠AED=∠DAE=∠ABC=45°，
∵CAE=∠BAD=90°，
∵AE∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠DEF=∠HBF．
∵F是BE的中點(diǎn)，
∴EF=BF，
∴△DEF≌△HBF，
∴DF=HF，ED=HB，
∵AD=ED，
∴AD=HB
在△ADC和△BHC中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=HB}\\{∠DAC=∠HBC=45°}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△BHC，
∴DC=HC，
∴△DCH是等腰直角三角形，
∵DF=HF，
∴DF=CF，DF⊥CF；
（3）DF=CF，DF⊥CF；
理由：如圖3，

過點(diǎn)B作BH∥ED，與DF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H，連接CH，
∴∠DEF=∠BHF，
在△FDE和△FHB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DEF=∠BHF}\\{EF=BF}\\{∠DFE=∠HFB}\end{array}\right.$，
∴△FDE≌△FHB，
∴DF=FH，DE=HB，
∴AD=ED=HB，
作AN⊥EB于點(diǎn)N，
由已知∠ADE=90°，∠ACB=90°，
可證得∠DEN=∠DAN，∠NAC=∠CBF，
∵BH∥ED，
∴∠DEN=∠HBF，
∴∠CBH=∠CBF+∠HBF=∠NAC+∠DEN=∠NAC+∠DAN=∠CAD，
在△CBH和△CAD中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠CBH=∠CAD}\\{BH=AD}\end{array}\right.$，
∴△CBH≌△CAD，
∴CH=CD，∠DCA=∠BCH，
∴∠DCH=∠DCA+∠ACH=∠BCH+∠ACH=∠ACB=90°，
∵DF=HF，
∴DF=CF，DF⊥CF．

點(diǎn)評(píng) 此題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形和全等三角形的判定，及勾股定理的運(yùn)用．要掌握等腰三角形和全等三角形的性質(zhì)及其判定定理并會(huì)靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．