Question

12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2$\sqrt{3}$），直線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$與x軸，y軸分別交于A，B，點(diǎn)M是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PM長(zhǎng)的最小值為$\frac{9}{5}$．

Answer 1

分析 當(dāng)PM⊥直線AB時(shí)，此時(shí)PM有最小值，利用直線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$求出點(diǎn)A與B的坐標(biāo)，從而可知OA，OB的長(zhǎng)度，然后證明△AOB∽△BMP，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出PM的值．

解答 解：當(dāng)PM⊥直線AB時(shí)，此時(shí)PM有最小值，
令x=0代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$，
∴y=-$\sqrt{3}$，
∴OB=$\sqrt{3}$，
令y=0代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$求，
∴x=3，
∴OA=3，
∴在Rt△AOB中，
由勾股定理可知：AB=2$\sqrt{3}$，
∵P（0，2$\sqrt{3}$），
∴BP=2$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$
∵∠OBA=∠MBP，∠AOB=∠PMB=90°，
∴△AOB∽△BMP
∴$\frac{PM}{BP}$=$\frac{OA}{AB}$，
∴PM=$\frac{9}{2}$
故答案為：$\frac{9}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查垂線段最短，解題的關(guān)鍵是求出OA、OB、AB的長(zhǎng)度，從而可求出答案．