Question

5．如圖，平面直角坐標系中，在四邊形OABC中，BC∥OA，OC=AB，OA=7，AB=4，∠COA=60°，點P是x軸上一個動點，點P不與點O、A重合，連接CP，點D是邊AB上一點，連接PD．
（1）求點B的坐標；
（2）若△OCP是等腰三角形，求此時點P的坐標；
（3）當點P在邊OA上，∠CPD=∠OAB，且$\frac{BD}{AB}$=$\frac{5}{8}$時，求此時點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）過B作BF⊥OA，判斷出∠BAO=60°，進而求出AF=$\frac{1}{2}$AB=2，BF=$\sqrt{3}$AF=2$\sqrt{3}$即可得出點B坐標，
（2）分三種情況利用等邊三角形的性質(zhì)即可求出點P的坐標；
（3）先判斷出∠OCP=∠APB，進而得出△OPC∽△ADP，即$\frac{OP}{AD}=\frac{OC}{AP}$，另為求出AD，最后用得出的比例式建立方程求出OP即可得出結(jié)論．

解答 （1）如圖1，過B作BF⊥OA，
∵∠COA=60°，OC=AB，
∴∠BAO=60°，
∵AB=4，
∴AF=$\frac{1}{2}$AB=2，BF=$\sqrt{3}$AF=2$\sqrt{3}$，
∵AO=7，
∴OF=5，
∴$B（{5\;，\;\;2\sqrt{3}}）$，
（2）①當OC=OP=4時，
∴P（4，0），（-4，0）
②當OC=CP=4時，
∵∠COP=60°，
∴△OCP是等邊三角形，
∴P（4，0），
③當CP=OP時，
∴∠OCP=∠COP=60°，
∴△COP是等邊三角形，
∴∠P（4，0），
即：滿足條件的點P的坐標為（4，0），（-4，0）；
（3）∵∠CPD=∠OAB=60°，
∴∠COA=∠CPD=∠OAB，
∵∠AOC+∠OCP=∠APD+∠DPC，
∴∠OCP=∠APD，
∴△OPC∽△ADP，
∴$\frac{OP}{AD}=\frac{OC}{AP}$，
∴OP•AP=AD•OC，
∵$\frac{BD}{AB}=\frac{5}{8}$，
∴$BD=\frac{5}{2}$$AD=\frac{3}{2}$，
∴$OP•AP=\frac{3}{2}×4=6$，
∴OP•（7-OP）=6，
∴OP²-7OP+6=0，
∴OP₁=1，OP₂=6，
∴P（1，0）P（6，0）．

點評 此題是相似形綜合題，主要考查了等腰梯形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，解（1）的關(guān)鍵是求出AF和BF，解（2）的關(guān)鍵是分類討論，解（3）的關(guān)鍵是判斷出△OPC∽△ADP是一道中等難度的中考�？碱}．