Question

14．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在AB、AD邊上，且BE=AF，連接CE、BF，它們相交于點(diǎn)G，點(diǎn)H為線段BE的中點(diǎn)，連接GH．若∠EHG=$\frac{4}{3}$∠DCE，則∠ABF是36度．

Answer 1

分析 先證明△ABF≌△BCE，得出∠ABF=∠BCE，再由∠ABF+∠CBG=90°，證出∠BGC=90°，得出∠BGE=90°，由點(diǎn)H為線段BE的中點(diǎn)，得出∠GEH=∠HGE，∠HBG=∠HGB，設(shè)∠DCE=3x，則∠EHG=4x，得出∠ABF=2x，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得方程：3x+4x+3x=180°，解方程即可得出結(jié)果．

解答 解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ABC=90°，AB=BC，
在△ABF和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}&{\;}\\{∠A=∠ABC}&{\;}\\{AF=BE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△BCE（SAS），
∴∠ABF=∠BCE，
∵∠ABF+∠CBG=90°，
∴∠CBG+∠BCE=90°，
∴∠BGC=90°，
∴∠BGE=90°，
∵點(diǎn)H為線段BE的中點(diǎn)，
∴GH=$\frac{1}{2}$BE=EH=BH，
∴∠GEH=∠HGE，∠HBG=∠HGB，
∵∠EHG=$\frac{4}{3}$∠DCE，
設(shè)∠DCE=3x，則∠EHG=4x，
∵AB∥CD，
∴∠HEG=∠DCE=3x，
∴∠HGE=3x，∠ABF=2x，
∵在△HGE中，3x+4x+3x=180°，
解得：x=18°，
∴∠ABF=36°．

點(diǎn)評 本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)；通過證明三角形全等證出CE⊥BF是解決問題的關(guān)鍵．