Question

1．如圖，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{2x}$和一次函數(shù)y=2x-1，其中一次函數(shù)的圖象經(jīng)過（a，b），（a+k，b+k+2）兩點且點A在第一象限，是兩個函數(shù)的一個交點；
（1）求反比例函數(shù)的解析式？
（2）在x軸上是否存在點P，使△AOP為等腰三角形？存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）列出關于a、b、k方程組，解方程組可以求出k的值．
（2）先求出點A坐標，再分三種情形：①當點O為等腰三角形△AOP的頂點，②當點A為等腰三角形△AOP的頂點，③當點P為等腰三角形△AOP的頂點，分別求出點P坐標即可．

解答 解：（1）∵一次函數(shù)y=2x-1經(jīng)過（a，b），（a+k，b+k+2）兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=2a-1}\\{b+k+2=2（a+k）-1}\end{array}\right.$，
解得k=2，
∴反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{1}{x}$．
（2）存在．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{x}}\\{y=2x-1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴點A坐標（1，1）．
∴OA=$\sqrt{2}$，
①當點O為等腰三角形△AOP的頂點時，點P坐標為（-$\sqrt{2}$，0）或（$\sqrt{2}$，0）．
②當點A為等腰三角形△AOP的頂點時，點P坐標為（2，0）．
③當點P為等腰三角形△AOP的頂點時，點P坐標為（1，0）．
∴△AOP為等腰三角形，點P坐標為（1，0）或（2，0）和（-$\sqrt{2}$，0）或（$\sqrt{2}$，0）．

點評 本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，解題的關鍵是利用方程組解決問題，體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想，學會分類討論的方法，注意不能漏解，屬于中考常考題型．