Question

3．如圖，Rt△ABC的角平分線AD與BE相交于F，M是DE的中點(diǎn)，設(shè)FM=2.5，S_△DEF=15，求CD，AB的長．

Answer 1

分析 在AB上取兩點(diǎn)H、O，使AE=AH，BO=BD，連接FH、FO，延長FM至L，使LM=FM，連接EL，過E作EG⊥MN，交NM的延長線于點(diǎn)G，作FK⊥AC于K，F(xiàn)J⊥BC于J．首先證明△EGF≌△FNH，推出HO=5，F(xiàn)N=EG=6，再在△FHO中，解三角形求出FH、OF，利用勾股定理求出DJ、EK，利用MJ∥AC，得到$\frac{DJ}{CJ}$=$\frac{DF}{AF}$，求出AF，由FK∥BC，得$\frac{EK}{CK}$=$\frac{EF}{BF}$，求出BF，再由勾股定理求出AN、BN即可解決問題．

解答 證明：在AB上取兩點(diǎn)H、O，使AE=AH，BO=BD，連接FH、FO，延長FM至L，使LM=FM，連接EL，過E作EG⊥MN，交NM的延長線于點(diǎn)G，作FK⊥AC于K，F(xiàn)J⊥BC于J．得△AEF≌△AHF，則∠AFH=∠AFE=45°，
同理得：∠BFD=∠BFO=45°，
∴∠HFO=180°-45°-45°-45°=45°，
得△EML≌△DMF，則EL=DF，∠LEM=∠FDM，
∵∠BFD=∠FED+∠FDM=45°，
∴∠FED+∠LEM=45°，
即∠LEF=45°，
∴∠LEF=∠HFO=45°，
∵EF=FH，OF=FD=EL，
∴△LEF≌△OFH，
∴∠EFM=∠FHN，
過E作EG⊥MN，交NM的延長線于點(diǎn)G，
∵∠GEF+∠EFG=90°，∠EFG+∠HFN=90°，
∴∠GEF=∠HFN，
∴△EGF≌△FNH，
∴EG=FN，
∵M(jìn)是DE的中點(diǎn)，
∴S_△DEF=2S_△EFM=2×$\frac{1}{2}$×FM•EG=FM•EG=15，
∵FM=$\frac{5}{2}$，
∴EG=6，
∴FN=EG=6．
把△FHO放大，下圖中，作OT⊥FH于T，OT交FN于R．

∵∠TFO=∠TOF=45°，
∴TF=TO，
∵∠TFR+∠H=90°，∠H+∠HOT=90°，
∴∠TFR=∠TOH，∵∠FTR=∠OTH=90°，
∴△FTR≌△OTH，
∴TH=TR，F(xiàn)R=HC=5，
∴RN=1，設(shè)TH=TR=a，OR=y，
由△ORN∽△FRT，得$\frac{RN}{TR}$=$\frac{RO}{FR}$，
∴$\frac{1}{a}$=$\frac{y}{5}$，
∴ay=5    ①
在Rt△HTO中，∵HT²+OT²=OH²，
∴a²+（a+y）²=5²      ②，
由①②可得a=$\sqrt{5}$或$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
當(dāng)a=$\sqrt{5}$時，則FH=3$\sqrt{5}$，OF=2$\sqrt{10}$，
∵FN=MJ=MK=6，
∴EK=$\sqrt{E{F}^{2}-F{K}^{2}}$=$\sqrt{（3\sqrt{5}）^{2}-{6}^{2}}$=3，DJ=$\sqrt{D{F}^{2}-M{J}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{10}）^{2}-{6}^{2}}$=2，
易知四邊形CKFJ是正方形，
∴CK=CJ=6，CD=CJ+DJ=8，
∵M(jìn)J∥AC，
∴$\frac{DJ}{CJ}$=$\frac{DF}{AF}$，
∴$\frac{2}{6}$=$\frac{2\sqrt{10}}{AF}$，
∴AF=6$\sqrt{10}$，
∴AN=$\sqrt{A{F}^{2}-F{N}^{2}}$=18，
∵FK∥BC，
∴$\frac{EK}{CK}$=$\frac{EF}{BF}$，
∴$\frac{3}{6}$=$\frac{3\sqrt{5}}{BF}$，
∴BF=6$\sqrt{5}$，
∴BN=$\sqrt{B{F}^{2}-F{N}^{2}}$=12，
∴AB=18+12=30，
當(dāng)a=$\frac{\sqrt{10}}{2}$時，則FH=2$\sqrt{10}$，OF=3$\sqrt{5}$，
∵FN=MJ=MK=6，
∴EK=$\sqrt{E{F}^{2}-F{K}^{2}}$=2，DJ=$\sqrt{D{F}^{2}-M{J}^{2}}$=3，
易知四邊形CKFJ是正方形，
∴CK=CJ=6，CD=CJ+DJ=9，
∵M(jìn)J∥AC，
∴$\frac{DJ}{CJ}$=$\frac{DF}{AF}$，
∴$\frac{3}{6}$=$\frac{3\sqrt{5}}{AF}$
∴AF=6$\sqrt{5}$，
∴AN=$\sqrt{A{F}^{2}-F{N}^{2}}$=12，
∵FK∥BC，
∴$\frac{EK}{CK}$=$\frac{EF}{BF}$，
，∴$\frac{2}{6}$=$\frac{2\sqrt{10}}{BF}$，
∴BF=6$\sqrt{10}$，
∴BN=$\sqrt{B{F}^{2}-F{N}^{2}}$=18，
∴AB=18+12=30，
綜上所述，AB=30，CD=8或9．

點(diǎn)評 本題考查角平分線性質(zhì)定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線垂線段成比例定理、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，特殊三角形解決問題，題目比較難，輔助線比較多，屬于競賽題目．