Question

12．在平面直角坐標(biāo)系中，A（a，0），B（b，0），C（-1，2）（見圖1），且|a+2|+（b-3）²=0
（1）求a、b的值；
（2）①在x軸的正半軸上存在一點M，使△COM的面積=$\frac{1}{2}$△ABC的面積，求出點M的坐標(biāo)；
②在坐標(biāo)軸的其它位置是否存在點M，使△COM的面積=$\frac{1}{2}$△ABC的面積仍然成立？若存在，請直接寫出符合條件的點M的坐標(biāo)；
（3）如圖2，過點C作CD⊥y軸交y軸于點D，點P為線段CD延長線上的一動點，連接OP，OE平分∠AOP，OF⊥OE．當(dāng)點P運動時，$\frac{∠OPD}{∠DOE}$的值是否會改變？若不變，求其值；若改變，說明理由

Answer 1

分析 （1）根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得a+2=0，b-3=0，然后解一次方程即可得到a與b的值；
（2）①設(shè)M（t，0），根據(jù)三角形面積公式可計算出S_△ABC=5，由于△COM的面積=$\frac{1}{2}$△ABC的面積，則$\frac{1}{2}$•t•2=$\frac{1}{2}$×5，然后解方程求出t即可得到M點坐標(biāo)；
②分類討論：當(dāng)M點在x軸的負半軸上時，易得M點坐標(biāo)為（-$\frac{5}{2}$，0）；當(dāng)M點在y軸的軸上時，設(shè)M點坐標(biāo)為（0，m），根據(jù)三角形面積公式得到$\frac{1}{2}$•|m|•1=$\frac{1}{2}$×5，然后解方程求出t即可得到M點坐標(biāo)；
（3）如圖2，由OE平分∠AOP得到∠AOE=∠POE=∠1+∠2，根據(jù)垂直的定義得到∠1+∠2+∠3=90°，∠4+∠AOE=90°，于是得到∠3=∠4，接著證明CD∥AB，利用平行線的性質(zhì)得∠OPD=∠POB=2∠3，
然后利用∠1+∠2+∠3=90°，∠2+∠3+∠4=90°可得∠1=∠3，則可計算出$\frac{∠OPD}{∠DOE}$=2．

解答 解：（1）∵|a+2|+（b-3）²=0
∴a+2=0，b-3=0，
∴a=-2，b=3；
（2）①設(shè)M（t，0），
S_△ABC=$\frac{1}{2}$×（3+2）×2=5，
∵△COM的面積=$\frac{1}{2}$△ABC的面積，
∴$\frac{1}{2}$•t•2=$\frac{1}{2}$×5，解得t=$\frac{5}{2}$，
∴M點坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}$，0）；
②當(dāng)M點在x軸的負半軸上時，M點坐標(biāo)為（-$\frac{5}{2}$，0）；
當(dāng)M點在y軸的軸上時，設(shè)M點坐標(biāo)為（0，m），則$\frac{1}{2}$•|m|•1=$\frac{1}{2}$×5，解得m=±5，此時M點坐標(biāo)為（0，5）或（0，-5）；
（3）$\frac{∠OPD}{∠DOE}$的值不會改變．
如圖2，
∵OE平分∠AOP，
∴∠AOE=∠POE=∠1+∠2，
∵OF⊥OE，
∴∠1+∠2+∠3=90°，∠4+∠AOE=90°，
∴∠3=∠4，
∵CD⊥y軸，
∴CD∥AB，
∴∠OPD=∠POB=2∠3，
∵∠1+∠2+∠3=90°，∠2+∠3+∠4=90°，
∴∠1+∠2+∠3=∠2+2∠3，
∴∠1=∠3，
∴$\frac{∠OPD}{∠DOE}$=$\frac{2∠3}{∠1}$=2．

點評 本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)：利用點的坐標(biāo)計算相應(yīng)線段的長和判斷線段與坐標(biāo)軸的位置關(guān)系；記住特殊位置點的坐標(biāo)特征．也考查了三角形面積公式和平行線的性質(zhì)．