Question

如圖（1），在菱形ABCD中，AC=2，BD=2

3

，AC，BD相交于點O．
（1）求邊AB的長；
（2）如圖（2），將一個足夠大的直角三角板60°角的頂點放在菱形ABCD的頂點A處，繞點A左右旋轉(zhuǎn)，其中三角板60°角的兩邊分別與邊BC，CD相交于點E，F(xiàn)，連接EF與AC相交于點G，判斷△AEF是哪一種特殊三角形，并說明理由．
（3）在（2）中的旋轉(zhuǎn)過程中，試說明為什么∠EAC=∠EFC．

Answer 1

考點：菱形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）求出AO、OB，根據(jù)勾股定理求出即可；
（2）求出△ABE≌△ACF，推出AE=AF，根據(jù)等邊三角形的判定推出即可；
（3）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可．

解答：解：（1）∵在菱形ABCD中，AC=2，BD=2

3

，
∴∠AOB=90°，OA=

1

2

AC=1，BO=

1

2

BD=

3

，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=

AO2+BO2

=2；

（2）△AEF是等邊三角形，
理由是：∵由（1）知，菱形ABCD的邊長是2，AC=2，
∴△ABC和△ACD是等邊三角形，
∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°，
∵∠EAF=∠CAF+∠CAE=60°，
∴∠BAE=∠CAF，
在△ABE和△ACF中，

∠BAE=∠CAF AB=AC=2 ∠EBA=∠FCA

∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴AE=AF，
∵∠EAF=60°，
∴△AEF是等邊三角形；

（3）∵∠EAC+∠AEG+∠EGA=∠GFC+∠FCG+∠CGF=180°，∠AEG=∠FCG=60°，∠EGA=∠CGF，
∴∠EAC=∠GFC．

點評：本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，題目綜合性比較強，有一定的難度．