Question

13．2016年清明小長(zhǎng)假，所有高速公路對(duì)七座以下的機(jī)動(dòng)車輛免收高速費(fèi)，很多人都走出家門，投入大自然的環(huán)抱，進(jìn)行自駕游．如圖所示，在同一平面內(nèi)，兩條平行高速公路l₁和l₂間有一條“Z”型道路連通，其中AB段與高速公路l₁成30°角，長(zhǎng)為20km；BC段與AB、CD段都垂直，長(zhǎng)為10km，CD段長(zhǎng)為30km，求兩高速公路間的距離（結(jié)果保留根號(hào)）

Answer 1

分析 過(guò)B點(diǎn)作BE⊥l₁，交l₁于E，CD于F，l₂于G．在Rt△ABE中，根據(jù)三角函數(shù)求得BE，在Rt△BCF中，根據(jù)三角函數(shù)求得BF，在Rt△DFG中，根據(jù)三角函數(shù)求得FG，再根據(jù)EG=BE+BF+FG即可求解．

解答 解：過(guò)B點(diǎn)作BE⊥l₁，交l₁于E，CD于F，l₂于G．
在Rt△ABE中，BE=AB•sin30°=20×$\frac{1}{2}$=10km，
在Rt△BCF中，BF=BC÷cos30°=10÷$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{20\sqrt{3}}{3}$km，
CF=BF•sin30°=$\frac{20\sqrt{3}}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$km，
DF=CD-CF=（30-$\frac{10\sqrt{3}}{3}$）km，
在Rt△DFG中，F(xiàn)G=DF•sin30°=（30-$\frac{10\sqrt{3}}{3}$）×$\frac{1}{2}$=（15-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$）km，
∴EG=BE+BF+FG=（25+5$\sqrt{3}$）km．
故兩高速公路間的距離為（25+5$\sqrt{3}$）km．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，主要是三角函數(shù)的基本概念及運(yùn)算，關(guān)鍵把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題加以計(jì)算．