Question

19．閱讀下面材料：
在小組活動(dòng)中，小明探究了下面問(wèn)題：菱形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為5，折疊菱形紙片，將B、D兩點(diǎn)重合在對(duì)角線BD上的同一點(diǎn)處，折痕分別為EF、GH．當(dāng)重合點(diǎn)在對(duì)角線BD上移動(dòng)時(shí)，六邊形AEFCHG的周長(zhǎng)的變化情況是怎樣的？
小明發(fā)現(xiàn)：若∠ABC=60°，
①如圖1，當(dāng)重合點(diǎn)在菱形的對(duì)稱中心O處時(shí)，六邊形AEFCHG的周長(zhǎng)為15；
②如圖2，當(dāng)重合點(diǎn)在對(duì)角線BD上移動(dòng)時(shí)，六邊形AEFCHG的周長(zhǎng)不變（填“改變”或“不變”）．
請(qǐng)幫助小明解決下面問(wèn)題：
如果菱形紙片ABCD邊長(zhǎng)仍為5，改變∠ABC的大小，折痕EF的長(zhǎng)為m．
（1）如圖3，若∠ABC=120°，則六邊形AEFCHG的周長(zhǎng)為10+5$\sqrt{3}$；
（2）如圖4，若∠ABC的大小為β，則六邊形AEFCHG的周長(zhǎng)可表示為10+10sin$\frac{β}{2}$．

Answer 1

分析 ①根據(jù)題意可知△BEF和△DGH是等邊三角形，再根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求解；
②根據(jù)題意可知△BEF和△DGH是等邊三角形，再根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求解；
（1）根據(jù)題意可知EF+GH=AC，再根據(jù)三角函數(shù)和菱的性質(zhì)即可求解；
（2）根據(jù)題意可知EF+GH=AC，再根據(jù)三角函數(shù)和菱形的性質(zhì)即可求解．

解答 解：①當(dāng)重合點(diǎn)在菱形的對(duì)稱中心O處時(shí)，
由題意可知：△BEF和△DGH是等邊三角形，
∴EF+AE+AG+GH+CH+CF=BE+AE+AG+GD+DH+CH=5+5+5=15．
∴六邊形AEFCHG的周長(zhǎng)為15；
故答案為：15；
②不變；理由如下：
當(dāng)重合點(diǎn)在對(duì)角線BD上移動(dòng)時(shí)，
由題意可知△BEF和△DGH是等邊三角形，
∴EF+AE+AG+GH+CH+CF=BE+AE+AG+GD+DH+CH=5+5+5=15．
∴六邊形AEFCHG的周長(zhǎng)為15．
故六邊形AEFCHG的周長(zhǎng)不變．
（1）若∠ABC=120°，
由題意可知：EF+GH=AC，
則六邊形AEFCHG的周長(zhǎng)為2×5+2×sin60°×5=10+5$\sqrt{3}$；
故答案為：10+5$\sqrt{3}$；
（2）若∠ABC的大小為β，
由題意可知：EF+GH=AC，
則六邊形AEFCHG的周長(zhǎng)可表示為2×5+2×sin$\frac{β}{2}$×5=10+10sin$\frac{β}{2}$．
故答案為：10+10sin$\frac{β}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形綜合題目，考查了翻折變換（折疊問(wèn)題），等邊三角形的判定與性質(zhì)，六邊形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識(shí)；本題關(guān)鍵是得到EF+GH=AC，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．