Question

4．在平面直角坐標系中，O為原點，點A（-2，0），點B（0，2），點E，點F分別為OA，OB的中點．若正方形OEDF繞點O順時針旋轉，得正方形OE′D′F′，記旋轉角為α．當α=90°時，求AE′，BF′的長．

Answer 1

分析 根據點A和點B的坐標得到OA=2，OE=1，OB=2，OF=1，再根據旋轉的性質得E′（0，1），F′（1，0），然后利用勾股定理計算AE′，BF′的長．

解答 解：∵點A（-2，0），點B（0，2），點E，點F分別為OA，OB的中點，
∴OA=2，OE=1，OB=2，OF=1，
∵正方形OEDF繞點O順時針旋轉90°，得正方形OE′D′F′，
∴E′（0，1），F′（1，0），
在Rt△OAE′中，AE′=$\sqrt{O{A}^{2}+OE{′}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$；
在Rt△OBF′中，BF′=$\sqrt{O{B}^{2}+OF{′}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
即AE′，BF′的長都為$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了坐標與圖形性質．