Question

10．已知，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB分別交x軸、y軸于A，B兩點(diǎn)，且OB=2OA，線段AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BC．

①如圖1，當(dāng)OA=3時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
②如圖2，若點(diǎn)A和點(diǎn)D關(guān)于y軸對稱，直線CD交y軸于點(diǎn)E，連接AE，求∠DAE的度數(shù)；
③在②的條件下，當(dāng)△AOE的面積為$\frac{9}{2}$，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿y軸負(fù)方向以每秒2個(gè)單位的速度勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，△PAC的面積為S（S≠0）．求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍．

Answer 1

分析 ①由OA的長確定出OB的長，利用同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，以及AB=BC，利用AAS確定出三角形CBF與三角形BAO全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到CF=OB，BF=OA，進(jìn)而確定出CF與OF的長，確定出C的坐標(biāo)即可；
②設(shè)A（a，0），則B（0，2a），根據(jù)A、D關(guān)于y軸對稱，表示出D坐標(biāo)，進(jìn)而表示出C的坐標(biāo)，設(shè)直線CD解析式為y=kx+b，把C與D代入求出k與b的值，表示出直線CD解析式，表示出E坐標(biāo)，得到OE=OA，確定出三角形ADE為等腰直角三角形，即可得出∠DAE的度數(shù)；
③根據(jù)三角形AOE面積求出a的值，確定出A與C的坐標(biāo)，設(shè)直線AC解析式為y=mx+n，把A與C坐標(biāo)代入求出m與n的值，求出G坐標(biāo)，分兩種情況考慮：當(dāng)0＜t≤2.5時(shí)，PG=BG-BP=5-2t，表示出△PAC面積S與t的關(guān)系式；當(dāng)t＞2.5時(shí)，PG=2t-5，表示出此時(shí)△PAC面積S與t的關(guān)系式即可．

解答 解：①作CF⊥OB，如圖1所示，

∵∠CBF+∠ABF=90°，∠BAO+∠ABF=90°，
∴∠CBF=∠BAO，
在△CBF和△BAO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BFC=∠AOB=90°}\\{∠CBF=∠BAO}\\{CB=BA}\end{array}\right.$，
∴△CBF≌△BAO（AAS），
∴CF=OB，BF=OA，
∵OA=3，
∴OB=2OA=6，
∴CF=OB=6，BF=OA=3，
∴OF=OB-BF=3，
∴C（-6，3）；
②設(shè)A（a，0），則B（0，2a），
∵A、D關(guān)于y軸對稱，
∴D（-a，0），
由（1）得：C（-2a，a），
設(shè)CD解析式為：y=kx+b，
把D與C坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-ak+b=0}\\{-2ak+b=a}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-a}\end{array}\right.$，即CD解析式為y=-x-a，
∴E（0，-a），A（a，0），即OA=OE，
∴∠DAE=45°；
③∵S_△AOE=$\frac{9}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$OA•OE=$\frac{1}{2}$a²=$\frac{9}{2}$，
解得：a=3（負(fù)值舍去），
∴A（3，0），C（-6，3），
設(shè)直線AC解析式為y=mx+n，
把A與C坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3m+n=0}\\{-6m+n=3}\end{array}\right.$，
解得：m=-$\frac{1}{3}$，n=1，
∴直線AC解析式為y=-$\frac{1}{3}$x+1，即G（0，1），

當(dāng)0＜t≤2.5時(shí)，PG=BG-BP=5-2t，此時(shí)△PAC面積S=$\frac{1}{2}$（5-2t）×9=$\frac{9}{2}$（5-2t）；
當(dāng)t＞2.5時(shí)，PG=2t-5，此時(shí)△PAC面積S=$\frac{1}{2}$（2t-5）×9=$\frac{9}{2}$（2t-5）．

點(diǎn)評 此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，全等三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，對稱的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．