Question

8．己知反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$經(jīng)過點E（3，4），在反比例函數(shù)圖象上找一點P，滿足∠POE=45°，則P點坐標為（2$\sqrt{21}$，$\frac{6\sqrt{21}}{21}$）．

Answer 1

分析 過點E作EA⊥x軸于點A，過點P作PB⊥x軸于點B，由點E在反比例函數(shù)圖象上得出k=12，設點P的坐標為（n，$\frac{12}{n}$），通過分割圖形求出△OEP的面積，再根據(jù)面積公式表示出△OEP的面積，由此即可得出關于n的一元四次方程，結合函數(shù)圖象解方程即可得出結論．

解答 解：過點E作EA⊥x軸于點A，過點P作PB⊥x軸于點B，如圖所示．

∵點E（3，4）在函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴k=3×4=12，
∴設點P的坐標為（n，$\frac{12}{n}$），則點A（3，0），點B（n，0），
S_{四邊形OBPE}=S_△OAE+S_梯形PBAE=$\frac{1}{2}$|k|+$\frac{1}{2}$（PB+EA）•AB=6+$\frac{1}{2}$（$\frac{12}{n}$+4）（n-3）=2n-$\frac{18}{n}$+6．
S_△OEP=S_{四邊形OBPE}-S_△OBP=2n-$\frac{18}{n}$+6-$\frac{1}{2}$|k|=2n-$\frac{18}{n}$．
由兩點間的距離公式可知：
OE=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，OP=$\sqrt{{n}^{2}+（\frac{12}{n}）^{2}}$，
S_△OEP=$\frac{1}{2}$OE•OP•sin∠EOP=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$$\sqrt{{n}^{2}+（\frac{12}{n}）^{2}}$=2n-$\frac{18}{n}$，
即7n⁴-576n²-1008=0，
解得：n²=84或n²=-84（舍去），
∴n₁=2$\sqrt{21}$，n₂=-2$\sqrt{21}$（舍去）．
∴點P的坐標為（2$\sqrt{21}$，$\frac{6\sqrt{21}}{21}$）．
故答案為：（2$\sqrt{21}$，$\frac{6\sqrt{21}}{21}$）．

點評 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征以及解一元高次方程，解題的關鍵是得出關于n的一元四次方程．本題屬于中檔題，難道不大，但較繁瑣，解決該題型題目時，根據(jù)三角形面積的不同求法得出關于n的一元高次方程是關鍵．