Question

16．如圖，AB是⊙O的直徑，過點B作⊙O的切線BM，弦CD∥BM，交AB于點F，且DA=DC，鏈接AC，AD，延長AD交BM地點E．
（1）求證：△ACD是等邊三角形．
（2）連接OE，若DE=2，求OE的長．

Answer 1

分析 （1）由AB是⊙O的直徑，BM是⊙O的切線，得到AB⊥BE，由于CD∥BE，得到CD⊥AB，根據(jù)垂徑定理得到$\widehat{AD}$=$\widehat{AC}$，于是得到AD=AC，然后根據(jù)已知DA=DC，得出AD=AC=CD，即可證得；
（2）連接OE，過O作ON⊥AD于N，由（1）知，△ACD是等邊三角形，得到∠DAC=60°又直角三角形的性質(zhì)得到BE=$\frac{1}{2}$AE，ON=$\frac{1}{2}$AO，設(shè)⊙O的半徑為：r則ON=$\frac{1}{2}$r，AN=DN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，由于得到EN=2+$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，BE=AE=$\frac{\sqrt{3}r+2}{2}$，在R_t△DEF與R_t△BEO中，由勾股定理列方程即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵AB是⊙O的直徑，BM是⊙O的切線，
∴AB⊥BE，
∵CD∥BE，
∴AB⊥CD，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{AC}$，
∴AD=AC，
∵DA=DC，
∴AD=AC=CD，
∴△ACD是等邊三角形；

（2）解：連接OE，過O作ON⊥AD于N，由（1）知，△ACD是等邊三角形，
∴∠DAC=60°
∵AD=AC，CD⊥AB，
∴∠DAB=30°，
∴BE=$\frac{1}{2}$AE，ON=$\frac{1}{2}$AO，
設(shè)⊙O的半徑為：r，
∴ON=$\frac{1}{2}$r，AN=DN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，
∴EN=2+$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，BE=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{\sqrt{3}r+2}{2}$，
在R_t△NEO與R_t△BEO中，
OE²=ON²+NE²=OB²+BE²，
即（$\frac{r}{2}$）²+（2+$\frac{\sqrt{3}r+2}{2}$）²=r²+（$\frac{\sqrt{3}r+2}{2}$）²，
∴r=2$\sqrt{3}$，
∴OE²=（$\sqrt{3}$）²+25=28，
∴OE=2$\sqrt{7}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，等邊三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，過O作ON⊥AD于N，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．