Question

13．如圖，點(diǎn)D（2，2）在拋物線y=$\frac{1}{2}$x²上，直線AB：y=kx+b交拋物線于A、B兩點(diǎn)（A、B不與點(diǎn)D重合）．若∠ADB=90°．求證：直線AB過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 設(shè)A（m，$\frac{1}{2}$m²），B（n，$\frac{1}{2}$n²），m≠n≠2，則直線AD的斜率K_AD=$\frac{2-\frac{1}{2}{m}^{2}}{2-m}$=$\frac{1}{2}$（2+m），直線BD的斜率K_BD=$\frac{1}{2}$（2+n），由K_AD•K_BD=-1，可得mn+2（m+n）+8=0，因?yàn)锳、B在直線AB上，所以$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{m}^{2}=mk+b}\\{\frac{1}{2}{n}^{2}=nk+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}（m+n）}\\{b=-\frac{1}{2}mn}\end{array}\right.$，直線AB的解析式為y=$\frac{1}{2}$（m+n）x-$\frac{1}{2}$mn，將mn=-8-2（m+n）代可得y=$\frac{1}{2}$（m+n）x-$\frac{1}{2}$[-8-2（m+n）]=$\frac{1}{2}$（m+n）x+4+m+n=$\frac{1}{2}$（m+n）（x+2）+4，故經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（-2，4）．

解答 解：設(shè)A（m，$\frac{1}{2}$m²），B（n，$\frac{1}{2}$n²），m≠n≠2，則直線AD的斜率K_AD=$\frac{2-\frac{1}{2}{m}^{2}}{2-m}$=$\frac{1}{2}$（2+m），直線BD的斜率K_BD=$\frac{1}{2}$（2+n），
∵∠ADB=90°，
∴K_AD•K_BD=-1，
∴$\frac{1}{2}$（2+m）•$\frac{1}{2}$（2+n）=-1，
可得mn+2（m+n）+8=0，
∵A、B在直線AB上，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{m}^{2}=mk+b}\\{\frac{1}{2}{n}^{2}=nk+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}（m+n）}\\{b=-\frac{1}{2}mn}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=$\frac{1}{2}$（m+n）x-$\frac{1}{2}$mn，
將mn=-8-2（m+n）代可得y=$\frac{1}{2}$（m+n）x-$\frac{1}{2}$[-8-2（m+n）]=$\frac{1}{2}$（m+n）x+4+m+n=$\frac{1}{2}$（m+n）（x+2）+4，
∴x=-2時(shí)，y=4，
∴直線AB經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（-2，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征、一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題，題目比較難，屬于競(jìng)賽題．