Question

7．如圖1，二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與x軸分別交于A、B兩點，與y軸交于點C．若tan∠ABC=3，一元二次方程ax²+bx+c=0的兩根為-8、2．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）直線l繞點A以AB為起始位置順時針旋轉(zhuǎn)到AC位置停止，l與線段BC交于點D，P是AD的中點．
①求點P的運動路程；
②如圖2，過點D作DE垂直x軸于點E，作DF⊥AC所在直線于點F，連結(jié)PE、PF，在l運動過程中，∠EPF的大小是否改變？請說明理由；
（3）在（2）的條件下，連結(jié)EF，求△PEF周長的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用tan∠ABC=3，得出C點坐標，再利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式；
（2）①當l在AB位置時，P即為AB的中點H，當l運動到AC位置時，P即為AC中點K，則P的運動路程為△ABC的中位線HK，再利用勾股定理得出答案；
②首先利用等腰三角形的性質(zhì)得出∠PAE=∠PEA=$\frac{1}{2}$∠EPD，同理可得：∠PAF=∠PFA=$\frac{1}{2}$∠DPF，進而求出∠EPF=∠EPD+∠FPD=2（∠PAE+∠PAF），即可得出答案；
（3）首先得出C_△PEF=AD+EF，進而得出EG=$\frac{3}{5}$PE，EF=$\frac{6}{5}$PE=$\frac{3}{5}$AD，利用C_△PEF=AD+EF=（1+$\frac{3}{5}$）AD=$\frac{8}{5}$AD，得出最小值即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)y=ax²+bx+c與x軸交于A、B兩點，且一元二次方程ax²+bx+c=0兩根為：-8，2，
∴A（-8，0）、B（2，0），即OB=2，
又∵tan∠ABC=3，∴OC=6，即C（0，-6），
將A（-8，0）、B（2，0）代入y=ax²+bx-6中，得：
$\left\{\begin{array}{l}{64a-8b-6=0}\\{4a+2b-6=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{8}}\\{b=\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，
∴二次函數(shù)的解析式為：y=$\frac{3}{8}$x²+$\frac{9}{4}$x-6；

（2）①如圖1，當l在AB位置時，P即為AB的中點H，
當l運動到AC位置時，P即為AC中點K，
∴P的運動路程為△ABC的中位線HK，
∴HK=$\frac{1}{2}$BC，
在Rt△BOC中，OB=2，OC=6，
∴BC=2$\sqrt{10}$，∴HK=$\sqrt{10}$，
即P的運動路程為：$\sqrt{10}$；

②∠EPF的大小不會改變，
理由如下：如圖2，∵DE⊥AB，
∴在Rt△AED中，P為斜邊AD的中點，
∴PE=$\frac{1}{2}$AD=PA，
∴∠PAE=∠PEA=$\frac{1}{2}$∠EPD，
同理可得：∠PAF=∠PFA=$\frac{1}{2}$∠DPF，
∴∠EPF=∠EPD+∠FPD=2（∠PAE+∠PAF），
即∠EPF=2∠EAF，
又∵∠EAF大小不變，
∴∠EPF的大小不會改變；

（3）設(shè)△PEF的周長為C，則C_△PEF=PE+PF+EF，
∵PE=$\frac{1}{2}$AD，PF=$\frac{1}{2}$AD，
∴C_△PEF=AD+EF，
在等腰三角形PEF中，如圖2，過點P作PG⊥EF于點G，
∴∠EPG=$\frac{1}{2}$∠EPF=∠BAC，
∵tan∠BAC=$\frac{OC}{AO}$=$\frac{3}{4}$，
∴tan∠EPG=$\frac{EG}{PG}$=$\frac{3}{4}$，
∴EG=$\frac{3}{5}$PE，EF=$\frac{6}{5}$PE=$\frac{3}{5}$AD，
∴C_△PEF=AD+EF=（1+$\frac{3}{5}$）AD=$\frac{8}{5}$AD，
又當AD⊥BC時，AD最小，此時C_△PEF最小，
又S_△ABC=30，
∴$\frac{1}{2}$BC×AD=30，
∴AD=3$\sqrt{10}$，
∴C_△PEF最小值為：$\frac{8}{5}$AD=$\frac{24}{5}$$\sqrt{10}$．

點評 此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和直角三角形中線的性質(zhì)等知識，用AD表示出△PEF的周長是解題關(guān)鍵．