Question

18．已知直角三角形ABC外切于⊙O，E、F、H為切點，∠ABC=90°，直線FE、CB相交于點D，連接AO、HE、HF，圓O的半徑為4．有下列結(jié)論：①劣弧EH的長度是π；②∠FEH=30°+∠FAO；③BD=AF；④DH²=AO•DF．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（　�。�

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 連接OE，OH，OF，OB，
①由切線的性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和即可判定；
②同①的方法得到∠FOH=180°-∠C=90°+∠BAC，再由圓周角定理即可得到證明；
③根據(jù)已知條件知道四邊形OEBH是正方形，然后證明△BDE≌△FAO，然后即可題目結(jié)論；
④根據(jù)已知條件可以證明△DFH∽△ABO，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例和已知條件即可證明結(jié)論正確．

解答 解：①中，連接OE，OH，
則OE⊥AB，OH⊥BC，
∵∠ABC=90°，
∴∠EOH=90°，
∵圓O的半徑為4，
∴$\widehat{EH}$的長度=$\frac{90•π•4}{180}$=2π，故①錯誤；
②中，同①的方法得∠FOH=180°-∠C=90°+∠BAC，
根據(jù)圓周角定理得∠FEH=$\frac{1}{2}$∠FOH=45°+∠FAO，故②錯誤；
③中，連接OF，由①得四邊形OEBH是正方形，
∴OF=BE，
又∵∠DBE=∠AFO，∠BED=∠AEF=∠AFE=∠AOF，
在△BDE與△FAO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBE=∠AFO=90°}\\{BE=OF}\\{∠BED=∠AOF}\end{array}\right.$
∴△BDE≌△FAO，
∴BD=AF，故③正確；
④中，連接OB，
根據(jù)兩個角對應(yīng)相等得△DFH∽△ABO，
則DH•AB=AO•DF，
又∵AB=DH，
∴DH²=AO•DF．故④正確．
故選B．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)定理、切線長定理、圓周角定理和相似三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．