Question

3．（1）問題探究：
如圖①，四邊形ABCD，DEFG都是正方形，連接AE，CG，觀察圖形，猜想AE與CG之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明你的猜想．
（2）拓展延伸：
如圖②，若將“問題探究”中的正方形改為正三角形，試確定AE與BD之間的數(shù)量關(guān)系，并求出∠APB的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD和四邊形DEFG都是正方形，易證得△ADE≌△CDG，然后由全等三角形的性質(zhì)，即可證得AE=CG，AE⊥CG．
（2）易證△DCB≌△ECA，得到AE=BD，根據(jù)三角形內(nèi)角和易得∠APB=60°．

解答 解：（1）AE=CG，AE⊥CG．理由：
如圖1，∵四邊形ABCD和四邊形DEFG都是正方形，
∴AD=CD，ED=GD，∠ADC=∠EDG=90°，
∴∠ADE=∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADE=∠CDG}\\{ED=GD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE=CG，∠EAD=∠GCD，
∵∠AGH=∠CGD，
∴∠AHG=∠CDG=90°，
∴AE⊥CG；
（2）AE=BD，∠APB=60°，
易證△DCB≌△ECA，
∴AE=BD，∠AEC=∠BDC，
∵∠PED+∠PEC=60°，
∴∠PED+∠BDC=60°，
∵∠EDC=60°，
∴∠APB=60°．

點(diǎn)評 此題考查了正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及垂直的定義．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．