Question

9．如圖．以點(diǎn)P（1，-2）為圓心，$2\sqrt{2}$為半徑的⊙P交x軸于點(diǎn)A，B，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B和點(diǎn)M（1，-8）．
（1）求點(diǎn)A，B坐標(biāo)；
（2）求拋物線的解析式；
（3）拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使PQ和OM互相平分？如果存在，求出點(diǎn)Q坐標(biāo)；不存在請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）過(guò)P作PM⊥x軸于M，連接PA、PB，根據(jù)勾股定理求出AM、BM即可；
（2）把A、B、M的坐標(biāo)代入拋物線得出方程組，求出方程組的解即可；
（3）求出拋物線和y軸的交點(diǎn)，即可得出此點(diǎn)符合條件．

解答 解：
（1）過(guò)P作PM⊥x軸于M，連接PA、PB，如圖1，
∵以點(diǎn)P（1，-2）為圓心，$2\sqrt{2}$為半徑的⊙P交x軸于點(diǎn)A，B，
∴PA=PB，PM=2，OM=1，PA=PB=2$\sqrt{2}$，
由勾股定理得：AM=BM=2，
∴A（-1，0），B（3，0）；

（2）把A、B、M的坐標(biāo)代入y=ax²+bx+c得：M（1，-8）
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{a+b+c=-8}\end{array}\right.$，
解得：a=a2，b=-4，c=-6，
所以拋物線的解析式是y=2x²-4x-6；

（3）如圖2，y=2x²-4x-6，
當(dāng)x=0時(shí)，y=-6，
即Q點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，-6），
連接PQ、OP、QM，
此時(shí)QMPO是平行四邊形，
所以O(shè)M和PQ互相平分，
即拋物線上存在點(diǎn)Q，使PQ和OM互相平分，此時(shí)點(diǎn)Q坐標(biāo)是（0，-6）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了勾股定理，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，平行四邊形的判定的應(yīng)用，能綜合性運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，難度偏大．