Question

4．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，AB⊥x軸正半軸于點(diǎn)A，連接OB，B（2，8），AD是∠BAO外角的角平分線，過點(diǎn)B作BD⊥AD于點(diǎn)D．

（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）如圖2，動(dòng)點(diǎn)P，從B點(diǎn)出發(fā)，沿BA以2個(gè)單位的速度向A運(yùn)動(dòng)，PQ∥BD交AD于點(diǎn)Q，交y軸于點(diǎn)G，設(shè)四邊形OAQG的面積為S，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，請用t表示S的關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)t為何值時(shí)，Rt△OAP的兩直角邊的比為2：1；并求此時(shí)直線PQ與x軸交點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先證得△ABD是等腰直角三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證得DE=AE=$\frac{1}{2}$AB，即可求得D的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)題意求得OG=10-2t，PA=8-2t，然后根據(jù)S=S_梯形APGO+S_△PAQ，即可求得用t表示S的關(guān)系式；
（3）根據(jù)題意求得P（2，4）或（2，1），然后根據(jù)待定系數(shù)法求得PQ的解析式，即可求得直線PQ與x軸交點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答 解：（1）如圖1，∵AB⊥x軸正半軸于點(diǎn)A，AD是∠BAO外角的角平分線，
∴∠DAB=45°，
∵BD⊥AD，
∴∠DBA=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
作DE⊥AB于D，
∴DE=AE=$\frac{1}{2}$AB，
∵B（2，8），
∴AE=DE=4，
∴D（6，4）；
（2）如圖2，∵B（2，8），D（6，4），
∴直線BD的解析式為y=-x+10，
∴直線BD與y軸的交點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，10），
∵AB∥y軸，BD∥PQ，
∴四邊形DQGF是平行四邊形，
∴FG=PB=2t，
∴OG=10-2t，PA=8-2t，
∵BD∥PQ，
∴PQ⊥AD，
∴△APQ是等腰直角三角形，
∴PQ=AQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（8-2t），
∴S=S_梯形APGO+S_△PAQ=$\frac{1}{2}$（8-2t+10-2t）×2+$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（8-2t）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（8-2t），
=t²-12t+34，
即S=t²-12t+34，（0≤t≤4）；
（3）如圖3，∵Rt△OAP的兩直角邊的比為2：1，OA=2，
∴AP=4或1，
當(dāng)AP=4時(shí)，則P（2，4），
∵BD∥PQ，直線BD的解析式為y=-x+10，
∴設(shè)直線PQ的解析式為y=-x+n，
把P（2，4）代入得，4=-2+n，交點(diǎn)n=6，
∴直線PQ的解析式為y=-x+6，
∴M（6，0）；
當(dāng)AP=1時(shí)，則P（2，1），
同理，即可求得M（3，0），
∴P的坐標(biāo)為（6，0）或（3，0）．

點(diǎn)評 本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，根據(jù)題意求得線段OG、PA、PQ、AQ的長是解題的關(guān)鍵．