Question

1．如圖，C、D是線段AB上兩點(diǎn)，且AC=BD=$\frac{1}{6}$AB=1，點(diǎn)P是線段CD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在AB同側(cè)分別作等邊△PAE和等邊△PBF，M為線段EF的中點(diǎn)．在點(diǎn)P從點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)度為2．

Answer 1

分析 分別延長(zhǎng)AE、BF交于點(diǎn)H，易證四邊形EPFH為平行四邊形，得出M為PH中點(diǎn)，則M的運(yùn)行軌跡為三角形HCD的中位線GN．再求出CD的長(zhǎng)，運(yùn)用中位線的性質(zhì)求出GN的長(zhǎng)度即可．

解答 解：如圖，分別延長(zhǎng)AE、BF交于點(diǎn)H，
∵∠A=∠FPB=60°，
∴AH∥PF，
∵∠B=∠EPA=60°，
∴BH∥PE，
∴四邊形EPFH為平行四邊形，
∴EF與HP互相平分．
∵M(jìn)為EF的中點(diǎn)，
∴M正好為PH中點(diǎn)，即在P的運(yùn)動(dòng)過程中，M始終為PH的中點(diǎn)，所以M的運(yùn)行軌跡為三角形HCD的中位線GN．
∵CD=6-1-1=4，
∴GN=$\frac{1}{2}$CD=2，即M的移動(dòng)路徑長(zhǎng)為2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形中位線定理及等邊三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線，找到點(diǎn)M移動(dòng)的規(guī)律，判斷出其運(yùn)動(dòng)路徑，綜合性較強(qiáng)．