Question

11．某小區(qū)在一塊矩形ABCD的空地上劃一塊四邊形MNPQ進(jìn)行綠化，為了綠化環(huán)境又節(jié)省成本．如圖，已知矩形的邊BC=200m，邊AB=a m（a為不大于200的常數(shù)），四邊形MNPQ的頂點(diǎn)在矩形的邊上，且AM=BN=CP=DQ=x m，設(shè)四邊形MNPQ的面積為S m²
（1）求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；
（2）若a=120，求S的最小值，并求出此時(shí)x的值；
（3）若a=200，且每平方米綠化費(fèi)用需50元，則此時(shí)綠化最低費(fèi)用為100萬元．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意和圖形可以得到S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式和x的取值范圍；
（2）根據(jù)a的值，將二次函數(shù)的一般形式化為頂點(diǎn)式，從而可以解答本題；
（3）根據(jù)a的值，將二次函數(shù)的一般形式化為頂點(diǎn)式，求出S的最小值，然后再乘以50，即可解答本題．

解答 解：（1）由題意可得，
S=200a-$\frac{x•（a-x）}{2}×2-\frac{（200-x）x}{2}×2$=2x²-（a+200）x+200a（0＜x＜a），
即S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是S=2x²-（a+200）x+200a，自變量x的取值范圍是0＜x＜a；
（2）當(dāng)a=120時(shí)，
S=2x²-320x+200×120=2（x-80）²+11200，
∴x=80時(shí)，S取得最小值，此時(shí)，S=11200，
即a=120，S的最小值是11200，此時(shí)x的值是80；
（3）當(dāng)a=200時(shí)，
S=2x²-（200+200）x+200×200=2（x-100）²+20000，
∴當(dāng)x=100時(shí)，S取得最小值，此時(shí)S=20000，
20000×50=1000000（元）=100（萬元），
即此時(shí)綠化最低費(fèi)用為100萬元，
故答案為：100．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，求出相應(yīng)的二次函數(shù)的最值，注意第三問中要化為萬元．