Question

3．關(guān)于x的方程kx²+（k+2）x+$\frac{k}{4}$=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求k的取值范圍．
（2）是否存在實(shí)數(shù)k，使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于1？若存在，求出k的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式得到k≠0且（k+2）²-4k•$\frac{k}{4}$＞0，然后求出兩個(gè)不等式的公共部分即可；
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于0，利用根與系數(shù)的關(guān)系得出x₁+x₂=-$\frac{k+2}{k}$，x₁x₂=$\frac{1}{4}$利用兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于0，得出方程的解，結(jié)合k的取值范圍判定即可．

解答 解：（1）∵關(guān)于x的方程kx²+（k+2）x+$\frac{k}{4}$=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴k≠0且△＞0，即（k+2）²-4k•$\frac{k}{4}$＞0，
∴k＞-1且k≠0．

（2）不存在．
理由：假設(shè)存在實(shí)數(shù)k使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于0，
∵x₁+x₂=-$\frac{k+2}{k}$，x₁x₂=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4（k+2）}{k}$=0，
解得：k=-2
∵k＞-1，
∴不存在實(shí)數(shù)k使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判別式．