Question

18．如圖1，水平放置一個直角三角板和一個量角器，三角板的邊AB和量角器的直徑DE在一條直線上，AB=BC=6cm，OD=3cm，開始的時候BD=1cm，現在三角板以2cm/s的速度向右移動．
（1）當B與O重合的時候，求三角板運動的時間；
（2）如圖2，當AC與半圓相切時，求AD；
（3）如圖3，當AB和DE重合時，求證：CF²=CG•CE．

Answer 1

分析 （1）根據題意得出BO的長，再利用路程除以速度得出時間；
（2）根據切線的性質和判定結合等腰直角三角形的性質得出AO的長，進而求出答案；
（3）利用圓周角定理以及切線的性質定理得出∠CEF=∠ODF=∠OFD=∠CFG，進而求出△CFG∽△CEF，即可得出答案．

解答 （1）解：由題意可得：BO=4cm，t=$\frac{4}{2}$=2（s）；

（2）解：如圖2，連接O與切點H，則OH⊥AC，
又∵∠A=45°，
∴AO=$\sqrt{2}$OH=3$\sqrt{2}$cm，
∴AD=AO-DO=（3$\sqrt{2}$-3）cm；

（3）證明：如圖3，連接EF，
∵OD=OF，
∴∠ODF=∠OFD，
∵DE為直徑，
∴∠ODF+∠DEF=90°，
∠DEC=∠DEF+∠CEF=90°，
∴∠CEF=∠ODF=∠OFD=∠CFG，
又∵∠FCG=∠ECF，
∴△CFG∽△CEF，
∴$\frac{CF}{CG}$=$\frac{CE}{CF}$，
∴CF²=CG•CE．

點評 此題主要考查了切線的性質以及相似三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質等知識，根據題意得出△CFG∽△CEF是解題關鍵．