Question

12．已知，如圖，△ABC中，CE、CF分別是∠ACB和它的鄰補(bǔ)角∠ACD的平分線，AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，直線EF分別交AB、AC于M、N．
求證：
（1）四邊形AECF是矩形；
（2）MN與BC的位置有何關(guān)系，證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)CE、CF分別是∠ACB和∠ACD的平分線得到∠ECF=90°，然后根據(jù)AE⊥CE，AF⊥CF，得到∠AEC=∠AFC=90°，利用三個(gè)角是直角證得四邊形AECF是矩形；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到內(nèi)錯(cuò)角相等即可證得兩條直線平行．

解答 證明：（1）如圖所示，∵CE、CF分別是∠ACB和∠ACD的平分線，
∴∠2=$\frac{1}{2}$∠ACB，∠3=$\frac{1}{2}$∠ACD，
∵∠ACB+∠ACD=180°，
∴∠2+∠3=$\frac{1}{2}$（∠ACB+∠ACD）=90°，
∵AE⊥CE，AF⊥CF，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∴四邊形AECF是矩形；

（2）答：MN∥BC．
∵四邊形AECF是矩形，
∴EF=AC，EN=$\frac{1}{2}$EF，NC=$\frac{1}{2}$AC，
∴EN=NC，
∴∠2=∠5，
又∵CE平分∠ACB，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠5，
∴MN∥BC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的判定、平行線的判定的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解矩形的幾個(gè)判定定理，難度不大．