Question

5．如圖，直線y=-$\frac{3}{4}$x+3與y軸交于點A，與x軸交于點B，點P從點B出發(fā)以每秒1個單位長度的速度沿BA邊向終點A運動，同時點Q以相同的速度從坐標原點O出發(fā)沿OB邊向終點B運動，設點P運動的時間為t秒．
（1）求點A，B的坐標；
（2）設△OPQ的面積為S，求S關于t的函數解析式；
（3）當PO=PQ時，請直接寫出tan∠AOP的值；
（4）在點P，Q運動的過程中，在平面直角坐標系內是否存在點N，使以點A，P，Q，N為頂點的四邊形是矩形？若存在，求直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法即可解決問題；
（2分兩種情形當0＜t≤4時，S=$\frac{1}{2}$OQ•PH=$\frac{1}{2}$•t•$\frac{3}{5}$t=$\frac{3}{10}$t²，當4＜t≤5時點Q在點B處，求出解析式即可；
（3）作PG⊥OB于G．易知∠AOP=∠OPG，在Rt△OPH中，求出tan∠OPH即可解決問題；
（4）存在點N，使得A、P、Q、N為頂點的四邊形是矩形．分三種情形討論①如圖3中，當∠APQ=90°時，∠BPQ=∠AOB=90°，根據cos∠PBQ=$\frac{OB}{AB}$=$\frac{BP}{BQ}$=$\frac{4}{5}$，即$\frac{t}{4-t}$=$\frac{4}{5}$，解方程即可．②當∠PAQ=90°時，不成立，即∠PAQ≠90°③若∠AQP=90°時，當t=0時，點Q與點O重合，此時點N的坐標為（4，3），想辦法構建方程即可解決問題．

解答 解：（1）對于直線y=-$\frac{3}{4}$x+3，
令x=0則y=3，令y=0，則x=4，
∴點A的坐標為（0，3），等B的坐標為（4，0）．

（2）如圖1中，作PH⊥x軸于H．由題意OQ=BP=t，OA=3，OB=4，
在Rt△AOB中，AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴sin∠ABO=$\frac{3}{5}$，
 在Rt△PHB中，∠PHB=90°，BP=t，
∴PH=BP•sin∠ABO=$\frac{3}{5}$t，
當0＜t≤4時，S=$\frac{1}{2}$OQ•PH=$\frac{1}{2}$•t•$\frac{3}{5}$t=$\frac{3}{10}$t²，
當4＜t≤5時，點Q與點B重合，OQ=OB=4，PH=$\frac{3}{5}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$•OQ•PH=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{3}{5}$t=$\frac{6}{5}$t，
綜上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{10}{t}^{2}}&{（0＜t≤4）}\\{\frac{6}{5}t}&{（4＜t≤5）}\end{array}\right.$．

（3）如圖2中，作PG⊥OB于G．
∴∠AOP=∠OPG，
∵PO=PQ，PG⊥OQ，
∴OG=$\frac{1}{2}$t，PG=PB•sin∠ABO=$\frac{3}{5}$t，
∴tan∠OPG=$\frac{OG}{PG}$=$\frac{5}{6}$，
∵∠AOP=∠OPG，
∴tan∠AOP=$\frac{5}{6}$．

（4）存在點N，使得A、P、Q、N為頂點的四邊形是矩形．
①如圖3中，當∠APQ=90°時，∠BPQ=∠AOB=90°，
∴cos∠PBQ=$\frac{OB}{AB}$=$\frac{BP}{BQ}$=$\frac{4}{5}$，即$\frac{t}{4-t}$=$\frac{4}{5}$，
解得t=$\frac{16}{9}$，此時點N的坐標為（-$\frac{4}{5}$，$\frac{29}{15}$）；
②當∠PAQ=90°時，
∵∠OAB為銳角，∠PAQ＜∠OAB，
∴不成立，即∠PAQ≠90°；
③若∠AQP=90°時，
當t=0時，點Q與點O重合，此時點N的坐標為（4，3）；
當0＜t≤5時，如圖4中，作PM⊥x軸于點M，
由①可知cos∠PBQ=$\frac{4}{5}$，
∴BM=$\frac{4}{5}$t，
∴QM=OB-OQ-BM=4-$\frac{9}{5}$t，
∵∠AOQ=∠QMP=∠AQP=90°，
易證∠OAQ=∠MQP，
∴△AOQ∽△QMP，
∴$\frac{AO}{QM}$=$\frac{OQ}{PM}$，
∴$\frac{3}{4-\frac{9}{5}t}$=$\frac{t}{\frac{3}{5}t}$，
解得t=$\frac{11}{9}$，此時點N的坐標為（$\frac{9}{5}$，$\frac{56}{15}$），
綜上所述，當t的值為0s，$\frac{16}{9}$s，$\frac{11}{9}$s時，以點A，P，Q，N為頂點的四邊形是矩形，點N的坐標分別為（4，3），（-$\frac{4}{5}$，$\frac{29}{15}$），（$\frac{9}{5}$，$\frac{56}{15}$）．

點評 本題考查余弦函數綜合題、三角形的面積、矩形的判定和性質、銳角三角函數、相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用方程的思想思考問題，屬于中考壓軸題．