Question

20．如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A，C分別在x，y軸的正半軸上，D為對(duì)角線OB的中點(diǎn)，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，且與AB、BC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2$\sqrt{3}$，2）．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）連接DE，求△BDE的面積；
（3）直接寫(xiě)出在第一象限內(nèi)當(dāng)x滿(mǎn)足什么條件時(shí)，直線FD的函數(shù)值大于反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的函數(shù)值．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)點(diǎn)D為對(duì)角線OB的中點(diǎn)，求出D點(diǎn)坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)，即可得出k的值；
（2）先求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于H，進(jìn)而根據(jù)S_△BDE=$\frac{1}{2}$BE×DH進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）先求得點(diǎn)F的坐標(biāo)，再根據(jù)D（$\sqrt{3}$，1），即可得出當(dāng)一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的函數(shù)值時(shí)，x的取值范圍．

解答 解：（1）∵B（2$\sqrt{3}$，2），點(diǎn)D為對(duì)角線OB的中點(diǎn)，
∴D（$\sqrt{3}$，1），
∵點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象上，
∴k=$\sqrt{3}$×1=$\sqrt{3}$，
∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為：y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$；

（2）設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2$\sqrt{3}$，m），代入y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$，可得m=$\frac{1}{2}$，
∴BE=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
如圖，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于H，則DH=$\frac{1}{2}$AO=$\sqrt{3}$，
∴S_△BDE=$\frac{1}{2}$BE×DH=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×$\sqrt{3}$=$\frac{3}{4}\sqrt{3}$；

（3）設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（n，2），代入y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$，可得n=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴F（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，2），
又∵D（$\sqrt{3}$，1），
∴在第一象限內(nèi)，當(dāng)一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的函數(shù)值時(shí)，x的取值范圍為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜x＜$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，涉及到反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、矩形的性質(zhì)、三角形的面積等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握：矩形的對(duì)角相等且互相平分；解題時(shí)注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．