Question

7．如圖，拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+mx+n與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，頂點(diǎn)為P點(diǎn)，已知A（-1，0），B（4，0）．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）試判斷以點(diǎn)P為圓心，PC為半徑的圓與直線CD的位置關(guān)系并說明理由；
（3）點(diǎn)E是線段BC上的一動(dòng)點(diǎn)．
①是否存在這樣的點(diǎn)E，使△ECD是等腰三角形，如果存在，直接寫出E點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說明理由；
②過點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由待定系數(shù)法建立二元一次方程組求出m、n的值即可；
（2）由（1）的解析式求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，再由勾股定理求出CD的值，設(shè)出點(diǎn)E坐標(biāo)，表示出DE，CE，由等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理就可以求出結(jié)論；
（3）①先求出BC的解析式，設(shè)出E點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，-$\frac{1}{2}$m+2），分三種情況討論計(jì)算出m；
②設(shè)出點(diǎn)E的橫坐標(biāo)，由四邊形CDBF的面積=S_△BCD+S_△CEF+S_△BEF求出S與a的關(guān)系式，由二次函數(shù)的性質(zhì)就可以求出結(jié)論．

解答 解（1）∵A（-1，0），B（4，0）在拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+mx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}-m+n=0}\\{-\frac{1}{2}×16+4m+n=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{3}{2}}\\{n=2}\end{array}\right.$，
∴拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；
（2）以PC為半徑的圓與直線CD的位置關(guān)系是相切，
理由：由（1）得，拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；
∵與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，
∴C（0，2），D（$\frac{3}{2}$，0），
∵拋物線頂點(diǎn)為P點(diǎn)，
∴P（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{8}$），
∴CD=$\frac{5}{2}$，PD=$\frac{25}{8}$，PC=$\frac{15}{8}$，
∴CD²+PC²=（$\frac{5}{2}$）²+（$\frac{15}{8}$）²=$\frac{625}{64}$=（$\frac{25}{8}$）²=PD²，
∴PC⊥CD，
∵點(diǎn)C在圓上，
∴直線CD與PC為半徑的圓相切；
（3）①∵B（4，0），C（0，2），
∴直線BC解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2，
設(shè)點(diǎn)E（m，-$\frac{1}{2}$m+2），（0＜m≤4）
∵C（0，2），D（$\frac{3}{2}$，0），
∴CE²=m²+$\frac{1}{4}$m²，DE²=（m-$\frac{3}{2}$）²+（-$\frac{1}{2}$m+2）²，CD²=$\frac{25}{4}$，
∵△ECD是等腰三角形
∴Ⅰ、當(dāng)CE=DE時(shí)，即：CE²=DE²，
∴m²+$\frac{1}{4}$m²=（m-$\frac{3}{2}$）²+（-$\frac{1}{2}$m+2）²，
∴m=$\frac{5}{4}$，
∴E（$\frac{5}{4}$，$\frac{11}{8}$），
Ⅱ、當(dāng)CE=CD時(shí)，即：CE²=CD²，
∴m²+$\frac{1}{4}$m²=$\frac{25}{4}$，
∴m=$\sqrt{5}$或m=-$\sqrt{5}$（舍），
∴E（$\sqrt{5}$，$\frac{4-\sqrt{5}}{2}$）
Ⅲ、當(dāng)DE=CD時(shí)，即：CD²=DE²
∴（m-$\frac{3}{2}$）²+（-$\frac{1}{2}$m+2）²=$\frac{25}{4}$，
∴m=4或m=0（舍），
∴E（4，0），
②設(shè)出點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為a，
∴EF=-$\frac{1}{2}$a²+2a（0≤a≤4），
∴S_{四邊形CDBF}=S_△BCD+S_△CEF+S_△BEF
=$\frac{1}{2}$BD×OC+$\frac{1}{2}$EF×CM+$\frac{1}{2}$EF×BN
=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×2+$\frac{1}{2}$a（-$\frac{1}{2}$a²+2a）+$\frac{1}{2}$（4-a）（-$\frac{1}{2}$a²+2a）
=-a²+4a+$\frac{5}{2}$
=-（a-2）²+$\frac{13}{2}$，
∴當(dāng)a=2時(shí)，S_{四邊形CDBF}的最大值為$\frac{13}{2}$，此時(shí)E（2，1）．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，二次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，四邊形的面積的運(yùn)用，解答時(shí)求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．