Question

7．設(shè)p正整數(shù)，且p≥2．在平面直角坐標(biāo)系中．連結(jié)點(diǎn)A（0，p）和點(diǎn)B（p，0）的線段通過(guò)p-1個(gè)格點(diǎn)C₁（1，p-1），…，C_i（i，p-i），…，C_p-1（p-1，1）．證明：
（1）若p為質(zhì)數(shù)，則在原點(diǎn)O（0，0）與點(diǎn)C（i，p-i）的連線段OC_i（i=1，…，p-1）上除端點(diǎn)外無(wú)其他格點(diǎn)；
（2）若在原點(diǎn)O（0，0）與點(diǎn)C（i．p-1）的連線段OC_i，（i=1，…，p-1）上除端點(diǎn)外無(wú)其它格點(diǎn)．則p為質(zhì)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）用P（a，b）表示△OAB內(nèi)的格點(diǎn)，a，b為正整數(shù)，假設(shè)結(jié)論不成立，則點(diǎn)P位于某條線段OC_i內(nèi)部．如圖，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C_i作C_iF⊥AB于點(diǎn)F．
由△OEP∽△OFC_i，知$\frac{a}$=$\frac{p-i}{i}$，得到i≤a，這與a＜i矛盾．得到原結(jié)論成立．
（2）假設(shè)結(jié)論不成立，即p為質(zhì)數(shù)，故p=xy，其中x，y∈N，且2≤x，y≤p-1，因?yàn)椤鱋AB內(nèi)部的格點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之和可以是從2到p-1之間的任何整數(shù)，故必存在一格點(diǎn)P（a，b）滿足a+b=x，得到點(diǎn)P（a，b）在線段OC_i內(nèi)部，即在線段OC上除端點(diǎn)外還有其它格點(diǎn)，這與已知矛盾．得到原結(jié)論成立．

解答 解：（1）用P（a，b）表示△OAB內(nèi)的格點(diǎn)，a，b為正整數(shù)，
假設(shè)結(jié)論不成立，則點(diǎn)P位于某條線段OC_i內(nèi)部．
如圖，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C_i作C_iF⊥AB于點(diǎn)F．
由△OEP∽△OFC_i，知$\frac{a}$=$\frac{p-i}{i}$，
其中1≤i≤p-1，
則1≤a≤i，1≤b≤p-i，
由$\frac{a}$=$\frac{p-i}{i}$，知（a+b）i=ap，
則i|ap，
因?yàn)閜為質(zhì)數(shù)，且1≤i≤p-1，
則i與p互質(zhì)，
則i|a，
故i≤a，
這與a＜i矛盾．
所以，假設(shè)不成立，
所以原結(jié)論成立．

（2）假設(shè)結(jié)論不成立，即p為質(zhì)數(shù)，故p=xy，其中x，y∈N，且2≤x，y≤p-1，
因?yàn)椤鱋AB內(nèi)部的格點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之和可以是從2到p-1之間的任何整數(shù)，
故必存在一格點(diǎn)P（a，b）滿足a+b=x，
則（a+b）y=xy=p，即ay+by=p，
故點(diǎn)（ay，by）必是C₁（1，p-1），…，C_i（i，p-i），…，C_p-1（p-1，1）中的一個(gè)點(diǎn)，
設(shè)為C_i（i，p-i），
則有ya=i，by=p-i，
故$\frac{a}$=$\frac{p-i}{i}$，
所以點(diǎn)P（a，b）在線段OC_i內(nèi)部，即在線段OC上除端點(diǎn)外還有其它格點(diǎn)，這與已知矛盾．
故原結(jié)論成立．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了質(zhì)數(shù)與合數(shù)，是競(jìng)賽題型，難度較大，本題關(guān)鍵是通過(guò)假設(shè)法，得到矛盾的結(jié)論，從而求解．