Question

12．已知：P為正方形ABCD內(nèi)一點，△ABP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)后得到的△ADM．
（1）畫出△ADM；
（2）連接PM，試說出△APM的形狀，并說明理由；
（3）PA=1，PD=$\sqrt{7}$，PB=3．求∠APD的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可得△ADM是△ABP繞點A順時針旋90°后得到的，繼而可畫出圖形；
（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得：∠PAM=∠BAD=90°，PA=PM，則可得△APM是等腰直角三角形；
（3）由勾股定理的逆定理，易證得△MPD是直角三角形，繼而求得答案．

解答 解：（1）如圖，△ADM是△ABP繞點A順時針旋90°后得到的．

（2）△APM是等腰直角三角形．
理由：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：∠PAM=∠BAD=90°，PA=PM，
∴△APM是等腰直角三角形；

（3）∵在Rt△PAM中，AM=PA=1，∠APM=45°，
∴PM²=AM²+PA²=2，
∵由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：PD=$\sqrt{7}$，DM=PB=3，
∴PM²+PD²=DM²，
∴∠MPD=90°，
∴∠APD=∠APM+∠MPD=45°+90°=135°．

點評 此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及勾股定理的逆定理．注意證得△APM是等腰直角三角形，△MPD是直角三角形是關鍵．