Question

7．如圖，在等邊△ABC中，D為BC邊上一點，E為AC邊上一點，且∠ADE=60°，BD=4，CE=$\frac{4}{3}$，則△ABC的面積為9$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 首先由△ABC是等邊三角形，可得∠B=∠C=∠ADE=60°，又由三角形外角的性質(zhì)，求得∠ADB=∠DEC，即可得△ABD∽△DCE，又由BD=4，CE=$\frac{4}{3}$，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，即可求得AB的長，則可求得△ABC的面積．

解答 解：∵△ABC是等邊三角形，∠ADE=60°，
∴∠B=∠C=∠ADE=60°，AB=BC，
∵∠ADB=∠DAC+∠C，∠DEC=∠ADE+∠DAC，
∴∠ADB=∠DEC，
∴△ABD∽△DCE，
∴$\frac{AB}{DC}$=$\frac{BD}{CE}$，
∵BD=4，CE=$\frac{4}{3}$，
設(shè)AB=x，則DC=x-4，
∴$\frac{x}{x-4}$=$\frac{4}{\frac{4}{3}}$，
∴x=6，
∴AB=6，
過點A作AF⊥BC于F，
在Rt△ABF中，AF=AB•sin60°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AF=$\frac{1}{2}$×6×3$\sqrt{3}$=9$\sqrt{3}$．
故答案為：9$\sqrt{3}$．

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)與等邊三角形的性質(zhì)．此題綜合性較強，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應用．