Question

5．如圖，直線y=-$\frac{3}{4}$x+3與x軸、y軸分別交于點A、B；點Q是以C（0，-2）為圓心、2為半徑的圓上一動點，過Q點的切線交線段AB于點P，則線段PQ的最小值是2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 過點C作CP⊥直線AB與點P，過點P作⊙C的切線PQ，切點為Q，此時PQ最小，連接CQ，由點到直線的距離求出CP的長度，再根據(jù)勾股定理即可求出PQ的長度．

解答 解：
過點C作CP⊥直線AB于點P，過點P作⊙C的切線PQ，切點為Q，此時PQ最小，連接CQ，如圖所示．
直線AB的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+3y，即3x+4y-12=0，
∴CP=$\frac{|-8-12|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=4．
∵PQ為⊙C的切線，
∴在Rt△CQP中，CQ=2，∠CQP=90°，
∴PQ=$\sqrt{C{P}^{2}-C{Q}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
故答案為：2$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了切線的性質(zhì)、點到直線的距離以及勾股定理，解題的關鍵是確定P、Q點的位置．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，借助于切線的性質(zhì)尋找到PQ取最小值時點P、Q的位置是關鍵．