Question

20．如圖，C為線段AE上一動點（不與點A，E重合），在AE同側分別作正三角形ABC和正三角形CDE，AD與BE交與點O，AD與BC交與點P，BE與CD交與點Q，連接PQ．有下列結論：
①AD=BE；②AP=BQ；③∠AOB=60°；④DE=DP；⑤△CPQ為正三角形．
其中正確的結論有（　�。�

• A． ①②③⑤
• B． ①③④⑤
• C． ①②⑤
• D． ②③④

Answer 1

分析 根據(jù)等邊三角形性質得出AC=BC，DC=CE，∠BCA=∠DCE=60°，求出∠ACD=∠BCE，證△ACD≌△BCE，推出AD=BE，即可判斷①；根據(jù)全等三角形性質得出∠CBE=∠CAD，根據(jù)ASA證△ACP≌△BCQ，推出AP=BQ，即可判斷②；對應角相等可得∠CAD=∠CBE，然后證明△ACP與△BCQ全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得PC=PQ，從而得到△CPQ是等邊三角形，所以⑤正確求出∠DCE=60°=∠CAD+∠ADC，求出∠CAD+∠BEC=60°，即可求出∠AOB=60°，即可判斷③；根據(jù)三角形外角性質推出∠DPC＞∠DCP，推出DP＜DC，即可判斷④．

解答 解：∵△ABC和△DCE是正三角形，
∴AC=BC，DC=CE，∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠BCA+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{DC=CE}\end{array}\right.$
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∴①正確；
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBE=∠CAD，
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°=∠ACB，
在△ACP和△BCQ中$\left\{\begin{array}{l}{∠CAP=∠CBQ}\\{AC=BC}\\{∠ACP=∠BCQ}\end{array}\right.$
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴AP=BQ，∴②正確；
PC=QC，
∴△CPQ為正三角形∴⑤正確
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
∠DCE=60°=∠CAD+∠ADC，
∴∠CAD+∠BEC=60°，
∴∠AOB=∠CAD+∠BEC=60°，∴③正確；
∵△DCE是正三角形，
∴DE=DC，
∵∠AOB=60°，∠DCP=60°，∠DPC＞∠AOB，
∴∠DPC＞∠DCP，
∴DP＜DC，即DP＜DE，∴④錯誤；
所以正確的有①②③⑤，
故選A．

點評 本題考查了等邊三角形性質，全等三角形的性質和判定，三角形的外角性質，主要考查學生綜合運用性質進行推理的能力，本題綜合性比較強，有一定的難度