Question

如圖Rt△ABC中，AB=AC=2，P是斜邊BC中點(diǎn)，∠EPF兩邊分別交邊AB、AC于E、F，且AF=BE．
（1）點(diǎn)A到B C的距離等于

 

；
（2）說(shuō)出△PEF的形狀：

 

；
（3）用不等式表示EF取值范圍：

 

；
（4）設(shè)FC=x，當(dāng)x為什么值時(shí)，△PCF是等腰三角形？說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）利用等腰三角形的性質(zhì)可知AP⊥BC，且可求得AP=

1

2

BC，再利用勾股定理求得BC即可求出點(diǎn)A到BC的距離；
（2）連接AP，可證明△APE≌△CFP，從而可判定△PEF的形狀；
（3）由（2）可知△PEF為等腰直角三角形，所以EF的長(zhǎng)與PE和PF有關(guān)，求出PE的取值范圍即可得出EF的取值范圍；
（4）分CF為底和腰兩種情況進(jìn)行求值即可．

解答：解：（1）連接AP，
∵AB=AC，P為BC中點(diǎn)，
∴AP⊥BC，
∵AB=AC=2，
∴BC=2

2

，
∴AP=

1

2

BC=

2

，
即點(diǎn)A到BC的距離為

2

，
故答案為：

2

；
（2）∵AB=AC，BE=AF，
∴AE=CF，
由（1）知AP=CP，且AP平分∠BAC，
在△AEP和△CFP中，

AE=CF ∠EAP=∠FCP AP=CP

，
∴△AEP≌△CFP（SAS），
∴PE=PF，∠APE=∠CPF，
∵∠APF+∠CPF=90°，
∴∠APE+∠APF=90°，
∴△PEF為等腰直角三角形，
故答案為：等腰直角三角形；
（3）∵E點(diǎn)在AB上，
∴當(dāng)E點(diǎn)在A點(diǎn)或B點(diǎn)時(shí)PE最大，此時(shí)PE=AP=

2

，
當(dāng)E點(diǎn)為AB中點(diǎn)時(shí)PE最小，此時(shí)PE=

1

2

AC=1，
∴1＜EF＜

2

，
故答案為：1＜EF＜

2

；
（4）當(dāng)x=1或2時(shí)，△PCF為等腰三角形，理由如下：
當(dāng)△PCF為等腰三角形時(shí)，因?yàn)椤螩=45°，所以只有PF=CF或PC=PF，
當(dāng)PF=CF時(shí)，此時(shí)PF⊥CF，可知F為AC中點(diǎn)，所以CF=

1

2

AC=1，
當(dāng)PC=PF時(shí)，此時(shí)PC⊥PF，即F與點(diǎn)A重合，此時(shí)CF=AC=2，
綜上可知當(dāng)x為1或2時(shí)△PCF為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握等腰三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．