Question

9．閱讀并解決問題
閱讀理解：
在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長(zhǎng)分別為$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，2，求這個(gè)三角形的面積．
解法一：因?yàn)椤鰽BC是等腰三角形，并且底AC=2，底邊的高為1．
所以 S_△ABC=$\frac{1}{2}$×2×1
解法二：建立邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格，在網(wǎng)格中畫出△ABC，使△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處，如圖所示．
借用網(wǎng)格面積可得：S_△ABC=S_矩形ADEC-S_△ADB-S_△CEB=1
方法遷移：
在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長(zhǎng)分別為$\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$，$\sqrt{13}$，求這個(gè)三角形的面積．
思維拓展：
在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長(zhǎng)分別為$\sqrt{25{m}^{2}+{n}^{2}}$，$\sqrt{9{m}^{2}+4{n}^{2}}$，$\sqrt{4{m}^{2}+{n}^{2}}$，其中（m＞0，n＞0，m≠n），求這個(gè)三角形的面積．

Answer 1

分析 方法遷移：根據(jù)題意畫出圖形，△ABC的面積等于正方形MNCP的面積減去三個(gè)小直角三角形的面積；
思維拓展：根據(jù)題意畫出圖形，△ABC的面積等于大矩形的面積減去三個(gè)小直角三角形的面積．

解答 解：方法遷移：
建立邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格，在網(wǎng)格中畫出△ABC，使△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處，
AB=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，AC=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，BC=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
根據(jù)題意得：△ABC的面積等于正方形MNCP的面積減去三個(gè)小直角三角形的面積，即：
S_△ABC=S_{正方形MNCP}-S_△AMB-S_△CAN-S_△CPB
=3×3-$\frac{1}{2}$×2×1-$\frac{1}{2}$×3×1-$\frac{1}{2}$×2×3=9-1-1.5-3=3.5．            
思維拓展：
建立邊長(zhǎng)為m×n的矩形網(wǎng)格，在網(wǎng)格中畫出△ABC，使△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處，
其中AB=$\sqrt{（3m）^{2}+（2n）^{2}}$=$\sqrt{9{m}^{2}+4{n}^{2}}$，
AC=$\sqrt{（5m）^{2}+{n}^{2}}$=$\sqrt{25{m}^{2}+{n}^{2}}$，BC=$\sqrt{（2m）^{2}+{n}^{2}}$=$\sqrt{4{m}^{2}+{n}^{2}}$．如圖所示：
則S_△ABC=5m×2n-$\frac{1}{2}$×3m×2n-$\frac{1}{2}$×5m×n-$\frac{1}{2}$×2m×n=3.5mn．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了勾股定理、三角形面積的計(jì)算方法；熟練掌握勾股定理，在網(wǎng)格中畫出△ABC是解決問題的關(guān)鍵．