Question

5．如圖，在平面直角坐標系中，O是原點，直線y=$\frac{3}{4}$x-3分別交x軸、y軸于點A、點C，點B在y軸正半軸上，且OB=OA．點D（2，m）在直線AB上，點P是x軸上的一個動點，設點P的橫坐標為t．
（1）求直線AB的函數(shù)表達式；
（2）連結(jié)PB、PD，若△BDP的面積等于△ABC面積的$\frac{1}{4}$，求t的值；
（3）以PD為斜邊作等腰直角三角形PDE，是否存在t的值，使點E落在△ABC的邊上？若存在，求出所有滿足條件的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先求出A、B兩點坐標，利用待定系數(shù)法即可解決問題．
（2）由題意S_△APB-S_△DPA=$\frac{1}{4}$•S_△ABC，可得$\frac{1}{2}$•|4-t|•4-$\frac{1}{2}$|4-t|•2=$\frac{1}{4}$•$\frac{1}{2}$•7•4，解方程即可．
（3）分兩種情形求解①如圖2中，以PD為斜邊的等腰直角三角形的直角頂點為E或E′，當點E在AB邊上時，易知DP⊥OA．②如圖3中，當E′在AC邊上時，作E′G⊥OP于G，EH⊥OP于H，連接OD、OE′、AE．想辦法求出點E′的坐標，利用待定系數(shù)法即可解決問題．

解答 解：（1）∵直線y=$\frac{3}{4}$x-3分別交x軸、y軸于點A、點C，
∴A（4，0），C（-3，0），
∴OA=4，OC=3，
∵OB=OA=4，
∴B（4，0），
設直線AB的解析式為y=kx+b，則有$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=-x+4．

（2）如圖1中，

∵點D（2，m）在直線AB上，
∴m=-2+4=2，
∴D（2，2），
由題意△BDP的面積等于△ABC面積的$\frac{1}{4}$，
∴S_△APB-S_△DPA=$\frac{1}{4}$•S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$•|4-t|•4-$\frac{1}{2}$|4-t|•2=$\frac{1}{4}$•$\frac{1}{2}$•7•4，
解得t=$\frac{15}{2}$或$\frac{1}{2}$．

（3）①如圖2中，以PD為斜邊的等腰直角三角形的直角頂點為E或E′，當點E在AB邊上時，易知DP⊥OA．

∵BD=AD，DP∥OB，
∴OP=PA=2，
∴P（2，0）．
∴t=2．
②如圖3中，當E′在AC邊上時，作E′G⊥OP于G，EH⊥OP于H，連接OD、OE′、AE．

∵∠ODA=∠EDE′=90°，
∴∠ODE′=∠ADE，
在∠ODE′和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DO=DA}\\{∠ODE′=∠ADE}\\{DE′=DE}\end{array}\right.$，
∴△ODE′≌△ADE，
∴OE′=AE，
易證△PEH≌△E′PG，
∴GE′=PH，EH=PG，
∵∠GOE′=∠DOE′-45°，∠OAE=∠90°+∠AEH，
∠OAE=45°+∠DAE=45°+∠DOE′，
∴∠AEH=∠DOE′-45°，
∴∠E′OG=∠AEH，
∵OE′=EH，∠OGE′=∠AHE=90°，
∴△OGE′≌△EHA，
∴OG=EH=PG=$\frac{1}{2}$t，GE′=AH=PH=$\frac{1}{2}$（t-4），
∴E′[$\frac{1}{2}$t，-$\frac{1}{2}$（t-4）]，
∵點E′在直線AC時，直線AC的解析式為y=$\frac{3}{4}$x-3，
∴-$\frac{1}{2}$（t-4）=$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{2}$t-3，
∴t=$\frac{40}{7}$，
綜上所述，t=2或$\frac{40}{7}$時，點E落在△ABC的邊上．

點評 本題考查一次函數(shù)的應用、正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會構(gòu)建方程解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．