Question

6．已知關(guān)于x的一元二次方程x²-2x+k-1=0．
（1）若此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）已知x=3是此方程的一個(gè)根，求方程的另一個(gè)根及k的值；
（3）當(dāng)Rt△ABC的斜邊長c=$\sqrt{3}$，且兩條直角邊a和b恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根時(shí)，求Rt△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一元二次方程x²-2x+k-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，列出k的不等式，求出k的取值范圍；
（2）把x=3代入方程，求出k的值，進(jìn)而解方程，求出另一個(gè)根；
（3）根據(jù)題意可得a²+b²=（$\sqrt{3}$）²，再根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系得到a+b=2，ab=k-1，進(jìn)而得到k的方程，求出k的值，即可求出Rt△ABC的面積．

解答 解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x²-2x+k-1=0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△＞0，即△=4-4（k-1）＞0，
∴k＜2；
（2）∵x=3是此方程的一個(gè)根，
∴把x=3代入原方程得：9-6+k-1=0，解得k=-2，
∴原方程為x²-2x-3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴方程另一個(gè)根是-1，k=-2；
（3）∵Rt△ABC的斜邊長c=$\sqrt{3}$，且兩條直角邊a和b恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，
∴a+b=2，ab=k-1，
∵a²+b²=（$\sqrt{3}$）²，
∴（a+b）²-2ab=a²+b²=3，
∴2²-2（k-1）=3，解得k=$\frac{3}{2}$，
∴ab=k-1=$\frac{1}{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了根的判別式、因式分解法解一元二次方程、根與系數(shù)的關(guān)系以及勾股定理的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是求出k的取值范圍，此題難度一般．