Question

16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=2x+b（b＜0）與坐標(biāo)軸交于A，B兩點，與雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）交于D點，過點D作DC⊥x軸于點C，連接OD．已知△AOB≌△ACD．
（1）若b=-2，求雙曲線的解析式；
（2）試探究k與b的數(shù)量關(guān)系，并寫出直線OD的解析式．

Answer 1

分析 （1）首先求出直線y=2x-2與坐標(biāo)軸交點的坐標(biāo)，然后由△AOB≌△ACD得到CD=OB，AO=AC，即可求出D坐標(biāo)，由點D在雙曲線y=$\frac{k}{x}$（ x＞0）的圖象上求出k的值；
（2）首先直線y=2x+b與坐標(biāo)軸交點的坐標(biāo)為A（-$\frac{2}$，0），B（0，b），再根據(jù)△AOB≌△ACD得到CD=DB，AO=AC，即可求出D坐標(biāo)，把D點坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式求出k和b之間的關(guān)系，進而也可以求出直線OD的解析式．

解答 解：（1）當(dāng)b=-2時，
直線y=2x-2與坐標(biāo)軸交點的坐標(biāo)為A（1，0），B（0，-2）．
∵△AOB≌△ACD，
∴CD=OB，AO=AC，
∴點D的坐標(biāo)為（2，2）．
∵點D在雙曲線y=$\frac{k}{x}$（ x＞0）的圖象上，
∴k=2×2=4．

（2）直線y=2x+b與坐標(biāo)軸交點的坐標(biāo)為A（-$\frac{2}$，0），B（0，b）．
∵△AOB≌△ACD，
∴CD=OB，AO=AC，
∴點D的坐標(biāo)為（-b，-b）．
∵點D在雙曲線y=$\frac{k}{x}$（ x＞0）的圖象上，
∴k=（-b）•（-b）=b²．
即k與b的數(shù)量關(guān)系為：k=b²．
直線OD的解析式為：y=x．

點評 本題主要考查了反比例函數(shù)的綜合題的知識點，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)以及反比例函數(shù)圖象的特征，此題難度不大，是一道不錯的中考試題．