Question

4．某工廠生產(chǎn)的一種合金薄板（其厚度忽略不計），這些薄板的形狀均為正方形，邊長x（單位：cm）在5到50之間（含5和50），每張薄板的出場價y（單位：元）由基礎(chǔ)價a和浮動價b兩部分組成，其中基礎(chǔ)價與薄板的大小無關(guān)，是固定不變的．浮動價b與薄板的邊長x成正比例．在營銷過程中得到了表格中的數(shù)據(jù)．

薄板的邊長x（cm）	20	30
出廠價y（元/張）	50	70

（1）求一張薄板的出廠價y與邊長x之間滿足的函數(shù)關(guān)系式；
（2）每張薄板的成本價w（單位：元）與它的面積x²（單位：cm²）成正比例，已知出廠一張邊長為40cm的薄板，獲得利潤p是26元（利潤=出廠價-成本價），
①求一張薄板的利潤p與邊長x之間滿足的函數(shù)關(guān)系式．
②當(dāng)邊長為多少時，出廠一張薄板所獲得的利潤最大？最大利潤是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意設(shè)b=kx，則y=kx+a，將表格中數(shù)據(jù)代入求解可得；
（2）①設(shè)w=mx²，從而得p=y-w=2x+10-mx²，將x=40、p=26代入即可得；
②將①中所求函數(shù)解析式配方成頂點(diǎn)式即可得出函數(shù)的最值．

解答 解：（1）設(shè)b=kx，則y=kx+a，
由表可得：$\left\{\begin{array}{l}{20k+a=50}\\{30k+a=70}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{a=10}\end{array}\right.$，
∴y=2x+10 （5≤x≤50）；

（2）①根據(jù)題意，設(shè)w=mx²，
則p=y-w=2x+10-mx²，
將x=40、p=26代入，得：80+10-1600m=26，
解得：m=$\frac{1}{25}$，
∴p=-$\frac{1}{25}$x²+2x+10，（5≤x≤50）；
②∵p=-$\frac{1}{25}$x²+2x+10=-$\frac{1}{25}$（x-25）²+35，
∴當(dāng)x=25時，p取得最大值，最大值為35，
答：當(dāng)邊長為25時，出廠一張薄板所獲得的利潤最大，最大利潤是35元．

點(diǎn)評 本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式及二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．