Question

14．如圖所示，BC是圓O的直徑，點(diǎn)A、F在圓O上，連接AB、BF．
（1）如圖1，若點(diǎn)A、F把半圓三等分，連接OA，OA與BF交于點(diǎn)E．求證：E為OA的中點(diǎn)；
（2）如圖2，若點(diǎn)A為弧$\widehat{BF}$的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，AD與BF交于點(diǎn)G．求證：AG=BG．

Answer 1

分析 （1）先求出∠AOB的度數(shù)，故可判斷出△OAB為等邊三角形，再由A為弧BF中點(diǎn)可得出OA⊥BF，進(jìn)而可得出結(jié)論；
（2）連接AF，AC，根據(jù)弧相等可得出∠C=∠ABF，由圓周角定理可得出∠BAC=90°，再由直角三角形的性質(zhì)得出∠ABG=∠BAG，進(jìn)而可得出結(jié)論．

解答 證明：（1）∵A、F為半圓三等分點(diǎn)，
∴∠AOB=$\frac{1}{3}$×180°=60°，
∵OA=OB，
∴△OAB為等邊三角形．
∵A為弧BF中點(diǎn)，
∴OA⊥BF，
∴BE平分OA，
∴E為OA中點(diǎn)．

（2）連接AF，AC，
∵A為弧BF中點(diǎn)，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{AF}$，
∴∠ABF=∠F．
∵$\widehat{AB}$=$\widehat{AB}$，
∴∠C=∠F，
∴∠C=∠ABF．
∵BC為圓O的直徑，
∴∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAD=90°．
∵AD⊥BC，
∴∠C+∠CAD=90°，
∴∠ABG=∠BAG，
∴AG=BG．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是圓周角定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．