Question

6．如圖，AD是△ABC一邊上的高，BF⊥AC，BE=AC．
（1）求證：AD=BD；
（2）若∠C=65°，求∠ABE的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）利用同角的余角相等求出∠C=∠BED，再利用“角角邊”證明△ACD和△BED全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可；
（2）根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠FBC，再求出△ABD是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠ABD=45°，再根據(jù)∠ABE=∠ABD-∠CBF代入數(shù)據(jù)計算即可得解．

解答 （1）證明：∵AD是△ABC一邊上的高，BF⊥AC，
∴∠C+∠CBE=90°，
∠BED+∠CBE=90°，
∴∠C=∠BED，
在△ACD和△BED中，$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠BED}\\{∠ADC=∠BDE=90°}\\{BE=AC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BED（AAS），
∴AD=BD；

（2）解：∵BF⊥AC，
∴∠CBF=90°-∠C=90°-65°=25°，
∵AD⊥BC，AD=BD，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD=45°，
∴∠ABE=∠ABD-∠CBF=45°-25°=20°．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，同角的余角相等的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．