Question

1．如圖，正方形ABCD的邊長為5，點M是邊BC上的點，DE⊥AM于點E，BF∥DE，交AM于點F．若E是AF的中點，則DE的長為（　�。�

• A． $\sqrt{5}$
• B． 2$\sqrt{5}$
• C． 4
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 因為AF=AE+EF，則可以通過證明△ABF≌△DAE，從而得到AE=BF，便得到了AF=BF+EF，再利用勾股定理求出DE的長即可．

解答 證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠BAD=90°
∵DE⊥AG，
∴∠DEM=∠AED=90°
∴∠ADE+∠DAE=90°
又∵∠BAF+∠DAE=∠BAD=90°，
∴∠ADE=∠BAF．
∵BF∥DE，
∴∠AFB=∠DEG=∠AED．
在△ABF與△DAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFB=∠AED}\\{∠ADE=∠BAF}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DAE（AAS）．
∴BF=AE，
∵BF∥DE，∠AED=90°
∴∠AFB=90°，
∵E是AF的中點，
∴AE=EF，
又∵BF=AE，
∴BF=EF=AE，
設BF為x，則AF為2x，
∵AB²=AF²+BF²，
∴5²=（2x）²+x²，
解得x=$±\sqrt{5}$（舍去$-\sqrt{5}$），
∴AF=2x=$2\sqrt{5}$，
∵DE=AF，
∴DE=$2\sqrt{5}$，
故選：B．

點評 此題主要考查學生對正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定的掌握情況，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法以及正方形的各種有關性質(zhì)．