Question

11．已知：如圖所示，在△ABC中，AD是△ABC的角平分線，E、F分別是AB，AC上的點(diǎn)，并且有∠EDF+∠EAF=180°，DG⊥AB于點(diǎn)G．
（1）試判斷DE和DF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）若△ADF和△AED的面積分別為50和39，求△EDG的面積．

Answer 1

分析 （1）過(guò)D作DM⊥AB，于M，DN⊥AC于N，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出DN=DM，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理和平角定義求出∠AED=∠CFD，根據(jù)全等三角形的判定AAS推出△EMD≌△FND即可；
（2）作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，利用角平分線的性質(zhì)得到DN=DG，將三角形EDG的面積轉(zhuǎn)化為三角形DNM的面積來(lái)求．

解答 （1）證明：過(guò)D作DN⊥AC于N，∵DG⊥AB于點(diǎn)G，
∴∠EGD=∠FND=90°，
∵AD平分∠BAC，DG⊥AB，DN⊥AC，
∴DG=DN（角平分線性質(zhì)），
∵∠EAF+∠EDF=180°，
∴∠AED+∠AFD=360°-180°=180°，
∵∠AED+∠DEG=180°，
∴∠GED=∠NFD，
在△EGD和△FND中
$\left\{\begin{array}{l}{∠GED=∠DFN}\\{∠DGE=∠DNF}\\{DG=DN}\end{array}\right.$，
∴△EMD≌△FND（AAS），
∴DE=DF；

（2）解：作DM=DE交AC于M，
∵DE=DF，DM=DE，
∴DM=DF，
∵AD是△ABC的角平分線，DG⊥AB，
∴DG=DN，
在Rt△DEG和Rt△DMN中，
$\left\{\begin{array}{l}{DN=DG}\\{DM=DE}\end{array}\right.$，
∴△DEG≌△DNM（HL），
∵△ADF和△AED的面積分別為50和39，
∴S_△MDF=S_△ADF-S_△ADM=50-39=11，
S_△DNM=S_△DEG=$\frac{1}{2}$S_△MDG=$\frac{1}{2}$=5.5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了角平分線的性質(zhì)及全等三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確地作出輔助線，將所求的三角形的面積轉(zhuǎn)化為另外的三角形的面積來(lái)求．