Question

6．如圖所示，在菱形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，且DE⊥AB，AB=2a．
（1）求∠ABC的度數(shù)；
（2）求對(duì)角線AC的長(zhǎng)；
（3）求菱形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可求得AE=$\frac{1}{2}$AD，可求得∠DAB=60°，則可求得∠ABC；
（2）連接BD，交AC于點(diǎn)O，可知BD=AB，可求得BO，在Rt△ABO中，可求得AO，則可求得AC；
（3）由（2）可求得BD和AC，由面積公式可求得菱形ABCD的面積．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD為菱形，
∴AD=AB=BC=CD，AD∥BC，
∵E為AB中點(diǎn)，DE⊥AB，
∴在Rt△ADE中，AE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$AD，
∴∠ADE=30°，
∴∠DAB=60°，
∴∠ABC=180°-∠DAB=180°-60°=120°；
（2）如圖，連接BD，交AC于點(diǎn)O，

∵四邊形ABCD為菱形，
∴AO=CO，DO=BO，AC⊥BD，
又∵∠DAB=60°，
∴△ABD為等邊三角形，
∴BD=AB=2a，
∴OB=$\frac{1}{2}$BD=a，
在Rt△ABO中，AB=2a，OB=a，
∴AO=$\sqrt{3}$a，
∴AC=2AO=2$\sqrt{3}$a；
（3）由（2）可知BD=2a，AC=2$\sqrt{3}$a，
∴S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$a×2a=2$\sqrt{3}$a²．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查菱形的性質(zhì)和面積，掌握菱形四邊相等、對(duì)角線互相垂直且平分是解題的關(guān)鍵．注意菱形兩個(gè)面積公式的靈活運(yùn)用．