Question

2．如圖，已知A，B，C，D，E五點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1，2），（3，2），（4，3），（2，6），（3，5）．如果點(diǎn)F在第-象限內(nèi)，且以D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與△ABC全等，那么點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，8）或（0，6）或（5，5）或（3，3）．

Answer 1

分析 設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)是（x，y）．分類討論：①△FDE≌△ABC，利用兩點(diǎn)間的距離公式列出關(guān)于x、y的二元一次方程組，通過(guò)解方程組即可求得點(diǎn)F的坐標(biāo)；
②當(dāng)△FED≌△ABC時(shí)，利用兩點(diǎn)間的距離公式列出關(guān)于x、y的二元一次方程組，通過(guò)解方程組即可求得點(diǎn)F的坐標(biāo)

解答 解：設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)是（x，y）．
∵A（1，2），B（3，2），C（4，3），D（2，6），E（3，5），
∴AB=2，BC=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{10}$，DE=$\sqrt{2}$；
①當(dāng)△FDE≌△ABC時(shí)，F(xiàn)E=AC=$\sqrt{10}$，DF=BA=2，則有$\left\{\begin{array}{l}{（x-2）^{2}+（y-6）^{2}=4}\\{（x-3）^{2}+（y-5）^{2}=10}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=8}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=6}\end{array}\right.$，
∴F₁（2，8），F(xiàn)₂（0，6）；
②當(dāng)△FED≌△ABC時(shí)，F(xiàn)E=AB=2，F(xiàn)D=AC=$\sqrt{10}$，則$\left\{\begin{array}{l}{（x-3）^{2}+（y-5）^{2}=4}\\{（x-2）^{2}+（y-6）^{2}=10}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴F₃（5，5），F(xiàn)₄（3，3）；
綜上所述可知點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，8）或（0，6）或（5，5）或（3，3）．
故答案為：（2，8）或（0，6）或（5，5）或（3，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．解答該題時(shí)，采用“分類討論”的數(shù)學(xué)思想，以防漏解．