Question

17．如圖，已知拋物線y=-x²+bx+c與x軸正半軸交于點(diǎn)A（3，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，3），點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)C，交直線AB于點(diǎn)D，設(shè)P（x，0）．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）當(dāng)0＜x＜3時(shí)，求線段CD的最大值；
（3）在△PDB和△CDB中，當(dāng)其中一個(gè)三角形的面積是另一個(gè)三角形面積的2倍時(shí)，求相應(yīng)x的值；
（4）過(guò)點(diǎn)B，C，P的外接圓恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，x的值為$±\sqrt{3}$．（直接寫(xiě)出答案）

Answer 1

分析 （1）用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可；
（2）先確定出直線AB解析式，進(jìn)而得出點(diǎn)D，C的坐標(biāo)，即可得出CD的函數(shù)關(guān)系式，即可得出結(jié)論；
（3）先確定出CD=|-x²+3x|，DP=|-x+3|，再分兩種情況解絕對(duì)值方程即可；
（4）利用四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，得出過(guò)點(diǎn)B，C，P的外接圓的圓心既是線段AB的垂直平分線上，也在線段PC的垂直平分線上，建立方程即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c與x軸正半軸交于點(diǎn)A（3，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，3），
∴-9+3b+c=0，c=3，
∴b=2，
∴拋物線解析式為y=-x²+2x+3；
（2）∵A（3，0），B（0，3），∴直線AB解析式為y=-x+3，
∵P（x，0）．
∴D（x，-x+3），C（x，-x²+2x+3），
∵0＜x＜3，
∴CD=-x²+2x+3-（-x+3）=-x²+3x=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時(shí)，CD_最大=$\frac{9}{4}$；
（3）由（2）知，CD=|-x²+3x|，DP=|-x+3|
①當(dāng)S_△PDB=2S_△CDB時(shí)，
∴PD=2CD，
即：2|-x²+3x|=|-x+3|，
∴x=±$\frac{1}{2}$或x=3（舍），
②當(dāng)2S_△PDB=S_△CDB時(shí)，
∴2PD=CD，
即：|-x²+3x|=2|-x+3|，
∴x=±2或x=3（舍），
即：綜上所述，x=±$\frac{1}{2}$或x=±2；
（4）直線AB解析式為y=-x+3，
∴線段AB的垂直平分線l的解析式為y=x，
∵過(guò)點(diǎn)B，C，P的外接圓恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，
∴過(guò)點(diǎn)B，C，P的外接圓的圓心既是線段AB的垂直平分線上，也在線段PC的垂直平分線上，
∴$\frac{-{x}^{2}+2x+3}{2}=x$，
∴x=±$\sqrt{3}$，
故答案為：$±\sqrt{3}$

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，極值，絕對(duì)值方程，四點(diǎn)共圓的特點(diǎn)，解本題的關(guān)鍵是CD=|-x²+3x|，DP=|-x+3|．