Question

6．已知，拋物線C₁：y=-$\frac{1}{2}$x²+mx+m+$\frac{1}{2}$．
（1）①無論m取何值，拋物線經(jīng)過定點(diǎn)P（-1，0）；
②隨著m的取值的變化，頂點(diǎn)M（x，y）隨之變化，y是x的函數(shù)，則函數(shù)C₂的關(guān)系式為：y=$\frac{1}{2}$（x+1）²；
（2）如圖1，拋物線C₁與x軸僅有一個公共點(diǎn)，請在圖1畫出頂點(diǎn)M滿足的函數(shù)C₂的大致圖象，平行于y軸的直線l分別交C₁、C₂于點(diǎn)A、B，若△PAB為等腰直角三角形，判斷直線l滿足的條件，并說明理由；
（3）如圖2，二次函數(shù)的圖象C₁的頂點(diǎn)M在第二象限、交x軸于另一點(diǎn)C，拋物線上點(diǎn)M與點(diǎn)P之間一點(diǎn)D的橫坐標(biāo)
為-2，連接PD、CD、CM、DM，若S_△PCD=S_△MCD，求二次函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析 （1）①直接得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；②用配方法確定出拋物線的頂點(diǎn)式方程，即可得出結(jié)論
（2）先確定出拋物線C₁，C₂的解析式，得出此兩個函數(shù)圖形關(guān)于x軸對稱，從而設(shè)出點(diǎn)B的坐標(biāo)，最后利用等腰直角三角形的性質(zhì)列出方程，解方程即可得出結(jié)論；
（3）方法一：先確定出點(diǎn)C坐標(biāo)，根據(jù)條件確定出四邊形的面積是三角形PAC面積的2倍，列出方程即可確定出m．最后代入解析式即可；
方法二：先確定出直線CD解析式，再用到坐標(biāo)系下的三角形面積公式（水平寬乘以鉛垂高的一半建立方程的）分別表示出S_△PCD和S_△MCD，從而建立方程求解m，再代入解析式即可．

解答 解：（1）①∵拋物線C₁：y=-$\frac{1}{2}$x²+mx+m+$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$x²+m（x+1）+$\frac{1}{2}$．
∴當(dāng)x+1=0時，無論m為何值，拋物線經(jīng)過頂點(diǎn)P，
∴x=-1，y=0，
∴定點(diǎn)P（-1，0），
故答案為：-1，0；
②拋物線C₁：y=-$\frac{1}{2}$x²+mx+m+$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$（x-m）²+$\frac{1}{2}$（m+1）²．
∴M（m，$\frac{1}{2}$（m+1）²），
∴函數(shù)C₂的關(guān)系式為y=$\frac{1}{2}$（x+1）²；
故答案為：y=$\frac{1}{2}$（x+1）²；
（2）如圖1所示，

∵拋物線C₁：y=-$\frac{1}{2}$x²+mx+m+$\frac{1}{2}$頂點(diǎn)在x軸，則m=-1，
∴拋物線C₁：y=-$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$（x+1）²，P（-1，0），
由②知，函數(shù)C₂的關(guān)系式為y=$\frac{1}{2}$（x+1）²；
∴拋物線C₁與C₂關(guān)于x軸對稱，
∵△PAB為等腰直角三角形，
∴直角頂點(diǎn)只能是點(diǎn)P，且PC=BC=AC，
設(shè)B（n，$\frac{1}{2}$（n+1）²），
∴C（n，0），BC=$\frac{1}{2}$（n+1）²，
∴PC=|n+1|，
∴$\frac{1}{2}$（n+1）²=|n+1|，
∴n=-1（舍）或n=1或n=-3．
∴直線l的解析式為x=1或x=-3．
（3）方法一：如圖2，過點(diǎn)M作ME⊥OC，過點(diǎn)D作DF⊥OC，

∵拋物線C₁：y=-$\frac{1}{2}$x²+mx+m+$\frac{1}{2}$．
∴M（m，$\frac{1}{2}$（m+1）²），P（-1，0），C（2m+1，0），
∵拋物線上點(diǎn)M與點(diǎn)P之間一點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-2，
∴D（-2，-m-$\frac{3}{2}$），
∴S_△PCD=$\frac{1}{2}$PC×DF，
∵S_△PCD=S_△MCD，
S_{四邊形CPDM}=S_△DFP+S_梯形DFEM+S_△CEM
=$\frac{1}{2}$×PF×DF+$\frac{1}{2}$（DF+ME）×EF+$\frac{1}{2}$×CE×ME
=2S_△PCD=2×$\frac{1}{2}$PC×DF，
∴PF×DF+EF×DF+ME×EF+CE×ME=2PC×DF，
∴DF（PF+EF）+ME（EF+CE）=2PC×DF，
∴DF×PE+ME×CF=2PC×DF，
∴DF×$\frac{1}{2}$PC+ME（PC-PF）=2PC×DF，
∴DF×PC+2ME×PC-2ME×PF=4PC×DF，
∴2ME×PC-3PC×DF=2ME×PF，
∴PC（2ME-3DF）=2ME×PF，
∴[-1-（2m+1）][（m+1）²-3（-m-$\frac{3}{2}$）]=（m+1）²×1，
∴（m+1）（m+4）（2m+3）=0，
∴m=-1（舍）或m=-4或m=-$\frac{3}{2}$，
當(dāng)m=-4時，二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=-$\frac{1}{2}$x²-4x-$\frac{7}{2}$．
當(dāng)m=-$\frac{3}{2}$時，二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-1．


方法二，如圖，過點(diǎn)M作ME⊥x軸交CD于E，過點(diǎn)D作DF⊥x軸，

∵拋物線C₁：y=-$\frac{1}{2}$x²+mx+m+$\frac{1}{2}$．
∴M（m，$\frac{1}{2}$（m+1）²），P（-1，0），C（2m+1，0），
∵拋物線上點(diǎn)M與點(diǎn)P之間一點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-2，
∴D（-2，-m-$\frac{3}{2}$），
∴直線CD解析式為y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$（2m+1），
∴E（m，-$\frac{1}{2}$（m+1）
∵S_△MCD=$\frac{1}{2}$×CF×ME=$\frac{1}{2}$×[-2-（2m+1）]×[$\frac{1}{2}$（m+1）²+$\frac{1}{2}$（m+1）]=-$\frac{1}{2}$（m+1）（m+2）（m+$\frac{3}{2}$），
S_△PCD=$\frac{1}{2}$PC×DF=$\frac{1}{2}$[-1-（2m+1）]×（-m-$\frac{3}{2}$）=（m+1）（m+$\frac{3}{2}$），
∵S_△PCD=S_△MCD，
∴-$\frac{1}{2}$（m+1）（m+2）（m+$\frac{3}{2}$）=（m+1）（m+$\frac{3}{2}$），
∴（m+1）（m+4）（2m+3）=0，
∴m=-1（舍）或m=-4或m=-$\frac{3}{2}$，
當(dāng)m=-4時，二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=-$\frac{1}{2}$x²-4x-$\frac{7}{2}$．
當(dāng)m=-$\frac{3}{2}$時，二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-1．

點(diǎn)評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)解析式的兩種形式的轉(zhuǎn)化，等腰直角三角形的性質(zhì)，圖形面積的計算，解本題的關(guān)鍵是判斷出拋物線C₁，C₂的圖象關(guān)于x軸對稱，（3）列出方程，解本題的難點(diǎn)是（3）方程的處理，計算量比較大，尤其是第三問的方程的處理．注：第三問，方法二，簡潔，解方程也比較簡單．