Question

10．點(diǎn)P在線段AB上，AP²=AB•PB，若PB=4，求AP的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 根據(jù)黃金分割的定義易得點(diǎn)P為AB的黃金分割點(diǎn)，則AP=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB，所以PB=AB-AP=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$AB，依此可得PB，AP的關(guān)系，列式計(jì)算可得AP的長(zhǎng)．

解答 解：∵點(diǎn)P在線段AB上，AP²=AB•PB，
∴AP=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB，
∴PB=AB-AP=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$AB，
∴AP=$\frac{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}$PB=2$\sqrt{5}$+2．
故AP的長(zhǎng)是2$\sqrt{5}$+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即AB：AC=AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，其中AC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB，并且線段AB的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)．